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Die Auflösung 
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den Wert (3) 
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mit anderen 
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n der ersten 
§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen 121 
der m — 2 Gleichungen stehen, so ist sie nach x 3 auflösbar 
und gibt etwa: 
( 4 ) x s = Ts ()h, Vi, y 3 ,%i, • • • «,)• 
Auch ist dann y 3 von y i und y 2 unabhängig. Denn sonst be 
stände zwischen allen dreien eine Gleichung, die, weil y l und y 2 
voneinander unabhängig sind, y 3 enthalten müßte, so daß y s 
eine Funktion von y x und y i allein und frei von x 3 wäre, was 
der Voraussetzung widerspricht. 
Nunmehr machen wir in den m — 3 letzten Gleichungen 
noch die Substitution (4), so daß sich y A , y h , . . . y m durch 
y l} y 2} y 3 , ¡r 4 , . . . x n ausdrücken, und schließen entsprechend 
weiter. Das Verfahren endet, sobald die noch übrigen Funk 
tionen y durch die vorher benutzten y allein ausgedrückt sind, 
also eine Abhängigkeit besteht. Andernfalls endet es erst mit 
dem m teu Schritte, d. h. wenn alle m Gleichungen (1) auf 
gebraucht worden sind. Zugleich folgt, daß dann m <Ln ist. 
In diesem Falle haben wir nach und nach m Gleichungen ge 
wonnen von der Form: 
X 1 Tl (yi, X 2> X 3) • 
■ • X m) X m + l> ’ 
• • x n)> 
X 2 — T2 (yi? 2/2? X 3? • 
• • X m'> X m + l> ■ 
• • X n), 
“ 9>m(ft> ft» • 
" • y?n) *ftn + l? • 
•• X n)■ 
Setzen wir den Wert von x m 
in alle m — 
1 vorhergehenden 
Gleichungen ein, darauf den von x m _ 1 in alle m — 2 vorher 
gehenden usw., so ergehen sich m Gleichungen von der Form: 
X k = tk (ft, y2, . • • y m , X m + 1> ■■■ X J (Ä “ 1, 2, . . . m), 
so daß die Gleichungen (1) hierdurch nach x 1 ,x 2 ,...x m auf 
gelöst sind. 
Nur der Bequemlichkeit des Ausdruckes halber nahmen 
wir an, daß nach und nach gerade x 1} x 2 , . . . x m berechen 
bar seien. Statt ihrer kann allgemein eine andere Reihe 
x a> x (i) Xy f . . . von m der n Veränderlichen x i7 x 2 , . . . x n auf- 
treten. Es hat sich also ergeben: 
Satz 1: m Funktionen 
ft ~ fl i. X l; X 21 • • • X n)> • • • ftr» ~ fm Oft? ft? • • ■ X n) 
von n unabhängigen Veränderlichen x 1 ,x 2 ,...x n sind dann 
[*8