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§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen 123 
Die Substitution des Wertes (2) von x i in die m — 1 
letzten Gleichungen (1) gibt nun höchstens m — 1 Gleichungen 
in x 2 , x 3 , . . . x n allein. Sie sind, wenn ihre Zahl nicht gleich 
Null ist, nicht frei von allen x 2 ,x 3 , . . . x n . Nehmen wir also 
an, eine enthalte etwa x 2 wirklich und gebe 
^2 = Vl ( X 37 X ±7 ■ ■ • X J- 
Diesen Wert setzen wir in alle übrigen ein, so daß Gleichungen 
in x 3 , x_ if . . . x n allein hervorgehen, unter denen wieder Identi 
täten vorhanden sein können, usw. Das Verfahren endet etwa mit 
x fl = c P ( u (a>+i, • • • *»)» 
wo g^m ist, wenn alle übrigen Gleichungen durch die an 
gewandten Substitutionen identisch erfüllt werden. Dann sind 
alle m Gleichungen (1) Folgen der g Gleichungen: 
X 1 = 9Ü ( X 2 > X 3) • • • X n) 7 X 2 == 9*2 ( X 3 7 • * • X n) 7 ••• X fi~ (pfi ( x /u +17 ■ • ■ X n) 1 
Von diesen ist aber keine eine Folge der anderen, denn 
die erste enthält x 1} das in allen übrigen nicht vorkommt, die 
zweite enthält x 2 , das in allen folgenden nicht vorkommt, usw. 
Wenn wir den Wert von x in alle vorhergehenden, darauf 
den von x fl _ 1 in alle vorhergehenden usw. einsetzen, gehen 
g Gleichungen hervor von der Form: 
(3) x 1 = t/q (a; /t+1 , x fl = ^ (x fl+l ,. .. x n ), 
und alle m Gleichungen (1) sind Folgen dieser g (<i m) Glei 
chungen. Wir sagen alsdann: Die Gleichungen (1) sind nach 
x x , x 2 , . . . x auflösbar. 
Hier gilt nun wieder die Bemerkung, daß wir nur des 
bequemeren Ausdruckes halber diejenigen g Veränderlichen, 
nach denen die Gleichungen (1) auflösbar sind, mit y X<% y • • • ^ f.1 
bezeichnet haben. Es können g andere unter den n Veränder 
lichen x 1 ,x 2 , . . . x n sein, aber sicher ist g <im. Demnach sind 
m Gleichungen nach höchstens m Veränderlichen auflösbar. 
Wenn nun insbesondere g = m ist, wird keine der m ge 
gebenen Gleichungen eine Folge von weniger als m Glei 
chungen, d. h. dann ist keine überflüssig. Wir sagen: 
Definition: m Gleichungen in n Veränderlichen heißen 
voneinander unabhängig, wenn sie nach gerade m Veränderlichen 
auflösbar sind. Insbesondere heißen sie dann voneinander un 
abhängig hinsichtlich dieser m Veränderlichen.