128 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
Wenn wir jetzt wieder x u x 2) . . • durch irgendwelche 
m der n Veränderlichen x lf x i} . . . x n ersetzen, können wir das 
Ergebnis so aussprechen: 
Satz 4: m Funktionen 
f x (x u x 2} .. . /2(#i> ^2; • • • J 2> • • • J n) 
von n (¡> m) unabhängigen Veränderlichen x t , x t , . . . x n sind dann 
und nur dann hinsichtlich m Veränderlicher x a , x^,. . . x^ von- 
einander unabhängig, wenn ihre Funktionaldeterminante hin 
sichtlich x af Xß } .. . Xp von Null verschieden ist: 
(ty ff" fm \ + Q 
\X a X p . . . X/ 
Beispiel: Die schon in Nr. 78 betrachteten Funktionen 
y 1 — x± y y% ~ (37 d - ^2) *3 
haben hinsichtlich x x und x 2 bzw. hinsichtlich x x und x s die 
Funktionaldeterminanten 
1 
1 
t 
1 1 
bzw. 
I X 3 
*8 1 
*£3 X 1 “1“ X 2 
von denen die erste gleich Null, die zweite dagegen gleich 
#1 + #2 — x 3 Sie sind also nicht hinsichtlich x x und x 2) 
wohl aber hinsichtlich x x und x z (ebenso hinsichtlich x 2 und x s ) 
voneinander unabhängig. 
81. Analogien zwischen Differentialquotienten und 
Funktionaldeterminanten. In Nr. 80 bemerkten wir ge 
legentlich, daß die Funktionaldeterminante von f lt f %1 . . . f m 
hinsichtlich x l} x i} ... x m im Falle m = 1 eine Ableitung 
erster Ordnung nach x x wird. Man kann Sätze aufstellen, 
die zeigen, daß die Funktionaldeterminante von m Funktionen 
in der Tat eine naturgemäße Verallgemeinerung des ersten 
Differentialquotienten einer Funktion von einer Veränderlichen 
für den Fall von m Funktionen von m Veränderlichen ist. 
Es seien nämlich 
(1) Vk = fk( X l> X i> • • • X ni) (fc = 1> • • • m) 
m Funktionen von gerade m Veränderlichen x 1} x 2 ,... x m . Ferner 
seien z m gerade m Funktionen von y lf y 2) . .. y m : 
( 2 ) = % (yi, y%> • • yj Q = 1, 2,. .. m). 
80, 81]