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Ableitung 
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des ersten 
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en ist 
§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen 129 
Da wir nach (1) auch 
/2; • • • O (1 = 1,2,... m) 
schreiben können, sind z x , z 2 , . . . z m zusammengesetzte Funk 
tionen von OC-^ j y • • • ^^'¡)\ y und sie haben nach Nr. 72 die Ab 
leitungen: 
dqpi d f y . dcpj d fz_ , 
dfx dx { ' df dxi 
+ 
d<Pi df m 
dZj _ 
dx- t df x dx t 1 dfi 3 x t 1 1 df m dx i 
wofür wir wegen (1) und (2) schreiben können: 
02/. 
0'=1;2, . . . m), 
/o\ 
(o) -K~- 
v J 0X { 
ds l dy, dz A dy, 
dy x dxi ' dy% cXi 
+ 
8y m dx % ^ 1,2,...m). 
Wir wollen nun das Produld der beiden Funktionaldeterminanten 
cu F unktionen 
f*i ^ • ' 
■ • « m \ 
und 
(y\ y% • ■ 
■ • y m \ 
' di y 9 ■ ■ 
• • yj 
x 2 . 
• • X J 
bilden. Dies kann nach dem. bekannten Satze über die Multi 
plikation von Determinanten so geschehen, daß wir als ¿ fces Glied 
der Z ten Zeile das Produkt annehmen, das heiworgeht, wenn wir 
die Glieder der l ten Zeile der ersten Determinante mit den 
Gliedern der ¿ ten Peihe der zweiten Determinante multiplizieren. 
Die dadurch hervorgehende Summe ist gerade der in (3) rechts 
stehende Ausdruck. Demnach ist: 
(4) 
z 9 z. 
Vl y2 
X, x t> 
*1 Zo 
\X< x<> 
• *« 
''Ul U2 • • • y m ' '*1 "2 • * • M m' Nl</ 1 
Satz 5: Sind y lt y 2} . . . y m Funktionen von x t , x 2} ... x m 
und ferner z 1} z 2 , . . . z m Funktionen von y t , y 2 , . . . y m , so daß 
z x , z % , ... z m auch zusammengesetzte Funktionen von x 1} x 2) ... x m 
iverden, so ist das Produkt der Funktionaldeterminante der z 
hinsichtlich der y und der Funktionaldeterminante der y hin 
sichtlich der x gleich der Funktionaldeterminante der z hinsicht 
lich der x. 
Dieser Satz ist für den Fall m = 1 nichts anderes als der 
Satz 11 in Nr. 33 über Funktionen von Funktionen. Denn 
wenn m = 1, also 
z = (p(y) und y = f(x) 
gegeben ist, kommt: 
dz dy dz 
dy dx dx 
Serret-Scheffers, Diff.- u. Integr.-Rechn. I. G. u. 7. Aufl. 9