132 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen. 
V 83. Differentialquotienten von mehreren unent 
wickelten Funktionen von einer Veränderlichen. All 
gemeiner liege jetzt ein System von m Gleichungen zwischen 
m -fl Veränderlichen x, y x , y 2 ,. . . y m vor: 
fi (x, yi> • • • 3Ü = °> 
f» ( x > y» Vif ’ • O = °> 
(1) 
fvX x >yD yg. • • • 30 = °* 
Sind die Funktionen /j, f 2 , . . ■ f m voneinunder unabhängig 
hinsichtlich y u y 2 , . . . y m , d. h. ist nach Satz 4 von Nr. 80 die 
Funktionaldeterminante 
so können wir nach Satz 3 in Nr. 79 annehmen, daß die Glei 
chungen (1) die m Größen y it y 3 , . . . y m als Funktionen der 
einen unabhängigen Veränderlichen x definieren. Y\ ir haben 
schon in Nr. 58 gezeigt, wie man bei dieser Auffassung ihre 
Differentialquotienten erster Ordnung berechnen kann, nämlich 
aus den n Gleichungen 
die in der Tat unter der Bedingung (2) als lineare Gleichungen 
in y x ', y 2 ', . . . y m nach den gesuchten Differentialquotienten 
yf, y 2 \ ■ ■ ■ y m auflösbar sind. 
In (3) sind die linken Seiten Funktionen von 
Da y x , y 2 , ... y m Funktionen von x bedeuten, also auch yf, 
yf, . . . y m , sind die linken Seiten von (3) zusammengesetzte 
Funktionen von x, die laut (3) gleich Null sind für alle Werte 
von x (innerhalb des Variabilitätsbereiches). Also müssen auch 
diejenigen Funktionen gleich Null sein, die durch wiederholte 
Differentiation nach x aus den linken Seiten der Gleichungen (3) 
hervorgehen. Doch müssen wir dabei vollständig, nicht partiell, 
nach x differenzieren, d. h. beständig im Auge behalten, daß 
y it y%, • • • y m und 7//, ?/ 2 ', . . . y' m ebenfalls Funktionen von x 
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