§ 2. Ableitungen und Differentiale unentwickelter Funktionen 133 
sind, die differenziert y/, y 8 ', ... y m und y t ", y 8 ", ... y" ergeben. 
Einmalige Differentiation gibt also: 
(4) 
+ ( 
av* , av* / , 
w + 2/1 + 
av* 
, av* - 
, av* / , av* 
a*ay t a^/r ^ a^ ay, ?/2 
+ 
av* , av* / , av* 
a«a?/ m ^ ay m ay! 2/1 ^ dy^y* 2/2 
, a/i „ , a/i // , 
+ + ä£ y * + ' 
(* 
^ ay w , y "* 
0 
1,2, 
. m). 
av, 
dy x dy m ^ m ) ^ 
») 2/)» 
, av* * 
+ SÄ 2 '" 
Man bemerkt, daß dies m in yy 2 ", . . . y' m lineare Gleichungen 
sind, deren Determinante die Funktionaldeterminante (2) ist. 
Da sie nicht verschwindet, kann man hieraus y x ", y 2 ", . . y” m 
berechnen. 
Abermalige vollständige Differentiation der m Gleichungen 
(4) nach x gibt noch umständlichere Gleichungen, von denen 
wir nur diejenigen Glieder angeben, die y^", y 2 ", . . . y m ent 
halten: 
. a/i > 
+ SF> 
. öfu / 
+ dy* y2 
+ 
i a/i „ 
+ WJ" 
= o 
(ft = 1, 2, . . . m). 
Sie sind in y/", y 2 ",. . . y" r ’ n linear und wegen (2) nach diesen 
Ableitungen auflösbar, usw. V 
84. Partielle Dififerentialquotienten unentwickelter 
Funktionen von mehreren Veränderlichen. Noch all 
gemeiner sei jetzt ein System von m Gleichungen in n m 
Veränderlichen x u x 2 , . . . x n , y lt y 8 , . . . y m gegeben: 
(1) Uli Hü} • • ‘ Um) ~ ^ (Je — 1, 2, . . . 'VH). 
Wenn die m Funktionen f t , f 2 , . . . f m unabhängig vonein 
ander hinsichtlich y t , y 2 , . . . y m sind, d. h. wenn nach Satz 4 
in Nr. 80 die Funktionaldeterminante 
(2) ( fx ^ M 4= 0 
Vi yt ■ ■ • yJ 
ist, können wir nach Satz 3 in Nr. 79 annehmen, daß die 
[83, 84