134 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
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Gleichungen (1) die m Größen y lf y 2 , . . . y m als Funktionen der 
n unabhängigen Veränderlichen x 1} x % , . . . x n definieren. Sobald 
wir nun in (1) unter y lf y i} . . . y m diese Funktionen von x 1} 
x 2 , . . . x n verstehen, sind die linken Seiten der Gleichungen (1) 
zusammengesetzte Funktionen von x x , x i} .. . x n , die für alle 
Werte von x lf x 2 , . . . x n (innerhalb ihres Variabilitätsbereiches) 
gleich Null sind, so daß auch ihre Ableitungen erster Ordnung 
nach x x , x it ... x n verschwinden. Bei der Berechnung der Ab 
leitungen muß man aber im Auge behalten, daß y t) y t ,. . . y m 
bei dieser Auffassung von x x , x 2 , . . . x n abhängen. Die Diffe 
rentiation nach x { gibt daher die m Gleichungen: 
(3) 
dfk , df k cy x df k cy A 
dx t ' dy l dXi ' dy t dx { ' 
dfk dy m _ Q 
^ dy m dXi 
Sie sind linear in 
(4) 
(1c = 1, 2,... ni). 
cy-i 
dxi 
und ihre Determinante hinsichtlich dieser m Größen ist die 
Funktionaldeterminante (2), so daß sich die partiellen Ab 
leitungen von y lf y 2J . . . y m nach x { aus ihnen berechnen 
lassen. 
Differenzieren wir die m Gleichungen (3) nach x t , indem 
wir bedenken, daß y 1 , y 2 , . . . y m und die m Ableitungen (4) 
von x t abhängen, so ergibt sich weiterhin: 
Vfk 
d*fk dy x 
d'fk dy„ 
IJ_ I V Jk v I , 
dx t dx x ' dx{dy x dx t ' ' ’ ' dx t dy m dx ( 
, d*fk dji d' : fk dy r 
dx i dy 1 dx t dx x dy x dx t ' 
+ 
d'fk dy. 
+ 
dxidy m dxt 
(214 2& J gy* dy % d i f k dy m \ dy t 
\dy x * dx t T dy 1 dy i dx t " r ' r dy x dy m cxj dXi 
f d'fk dy x d'f k dy, 
idy m dy x dx x ~ r dy m dy, dx x ‘ 1 ~ 
df k d*y. 
+ 
d'ft cy„\ djfn 
dyftx dxj dxi 
_j_ 21ä , zus > 
dy x dx i dx l *’ dy. dx i dx x ' 
. Ilk d lym_ = 0 
— dy m dx i cx l 
84] 
(k = 1, 2,... ni).