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§ 2. Ableitungen und Differentiale unentwickelter Funktionen 135 
Dies sind m in bezug auf 
dx,dxf dx^dxj dxjdx t 
lineare Gleichungen mit der Determinante (2) ; so daß sich aus 
ihnen die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von y x , y 2 , 
. . . y m nach x i und x t berechnen lassen, usw. 
t/ 
85. Vollständige Differentiale unentwickelter 1/ 
Funktionen von mehreren Veränderlichen. Wir be 
trachten denselben allgemeinsten Fall wie in voriger Nummer. 
Es seien also m Gleichungen in x lf x 2 , . . . x n , y x , y 2 , ...y m 
vorgelegt: 
(!) fifa, oc 2 ,... x n , y x , y 2 ,... y m ) = 0 (Je = 1,2,... m), 
die unter der Voraussetzung 
die Größen y lf y 2 , . . . y m implizite als Funktionen von x x , x 2 , 
. . . x n definieren. Wenn wir unter y x , y 2 , . . . y m diese Funk 
tionen von x x ,x 2 ,...x n verstehen, sind f x , f 2 , . . . f m gleich 
Null für alle x x , x 2 , . . . x n (innerhalb ihres Variabilitäts 
bereiches), so daß auch ihre vollständigen Differentiale nach 
Satz 8 von Nr. 74 verschwinden. So kommt zunächst: 
(Je = 1, 2,. . . m). 
Diese m Gleichungen sind linear in bezug auf dy x , dy 2 , ...dy m , 
und zwar haben sie in bezug auf diese m Größen die von Null 
verschiedene Determinante (2), so daß ihre Auflösung die 
vollständigen Differentiale erster Ordnung dy x , dy 2 , . . . dy m 
der Funktionen y x , y 2 , . .. y m liefert. 
In (3) stehen links Funktionen von 
Vx, </ 2 > • • • y m > d Vx, d V2, • • • d y m , 
die außerdem die als willkürliche Konstanten zu betrachtenden 
Differentiale dx x , dx 2 , . . . dx n der unabhängigen Veränderlichen 
enthalten.