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136 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
Verstehen wir unter y x , y 2 , . . . y m die durch (1) definierten 
Funktionen von x 1 , x 2 ,. .. x n und unter dy t) dy t ,.. . dy m die 
aus (3) zu berechnenden Funktionen von x l ,x 2 ,...x n und 
y lf y a , . . . y m , so sind die linken Seiten der Gleichungen (3) 
zusammengesetzte Funktionen von x x , x i7 .. . x n , die nach (3) 
für alle Werte von x t , x 2 ,. . . x n (innerhalb des Variabilitäts- 
hereiches) gleich Null sind und deren vollständige Differentiale 
also nach Satz 8 von Nr. 74 verschwinden. Um diese vollstän 
digen Differentiale aufzustellen, differenziert man nach jedem 
x { und multipliziert mit dx i} ferner differenziert man nach 
jedem y t und multipliziert mit dy,, außerdem differenziert man 
nach jedem dy t und multipliziert mit d 3 y r Aus allen so her 
vorgehenden Ausdrücken ist die Summe zu bilden. So kommt: 
d'fk 
dx x 
\ dx? -f 2 dx 1 dx i -f • • • -f dx n 2 
8 1 1 dx 1 dx, 121 " 
dx n 
+ 2 (j$k dx i d y'+$fc l dx > d y'+-+$k. dx ’ dv ') 
l 3*/* J 2 I О 7 j . , d'f k J * 
+ dt' dy ' +2 dy ' dy * + • • • + HZ' dy 
+ -fi- d s y t + (i'i/j + • • • + i-~ (1 г у — 0 
дУх ' dy, ■ 2 cy m 
(к = 1, 2,... m). 
Dies sind m in d 2 y 1} d?y 2 ,. . . d 3 y m lineare Gleichungen mit 
der Determinante (2), so daß sich die vollständigen Differen 
tiale zweiter Ordnung von y lt y 3) . . . y m aus ihnen berechnen 
lassen. Entsprechend gehen die vollständigen Differentiale 
höherer Ordnung hervor. 
Man kann aber auch folgenden Weg einschlagen: Zuerst 
stellt man, indem man bedenkt, daß y x eine Funktion von 
x 1} x 2 , . . . x n ist, das gesuchte vollständige Differential r ter Ord 
nung d r y l von y t nach Satz 13 von Nr. 76 als eine Summe dar, 
in der die partiellen Ableitungen von y t nach x 1 ,x 3 ,...x n 
auftreten. Hierin setzt man dann die nach Nr. 84 zu berech 
nenden Werte dieser Ableitungen ein. 
jBeispiel: Es sei z als Funktion von x und ?/ definiert 
durch die Gleichung: 
85]