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§ 2. Ableitungen und Differentiale unentwickelter Funktionen 137 
(5) 
(6 
= & 
C-Z 
dy' 1 
= t. 
(4) f{x, y, z) = 0. 
Mau pflegt die partiellen Ableitungen erster Ordnung von z 
mit p und q, die zweiter Ordnung mit r, s, t zu bezeichnen: 
dz _ dz 
dx P’ dy 
d^z_ d 2 z_ 
dx 2 } ’ dxdy S,/ 
Dann ist nach Satz 13 von Nr. 76: 
dz = pdx + q_dy, 
d 2 z = rdx 2 -f 2sdxdy + tdy 2 . 
Nun sind p und q ebenfalls Funktionen von x und y, und 
wegen ihrer in (5) angegebenen Bedeutung lauten ihre voll 
ständigen Differentiale so: 
I dp = dx -f ll dy = rdx + sdy, 
a 
dy 
dq = dx -j- dy = sdx -f tdy. 
Um die Werte der vollständigen Differentiale (6) zu finden, 
müssen wir zunächst p und q ermitteln. Deshalb differenzieren 
wir die Gleichung (4) partiell nach x bzw. y, indem wir z 
als Funktion von x und y auffassen: 
(8) f x + f 2 P = 0, f y + f z q = 0. 
Hieraus folgt: 
^ fx n fy 
p --y cl ~-j; 
Um r, s, t zu ermitteln, differenzieren wir (8) partiell nach x 
bzw. y, indem wir z, p und q als Funktionen von x und y 
auffassen. So gehen zunächst vier Gleichungen hervor: 
fxx + fxzP + LxP + fzzP 2 + fz r = °> 
fxy + fxzZ + fzyP +fzzPQ. U fz s = 0 > 
fyx + fyzP + fzxQ. + fzzVP + fz s - °; 
fyy + fy,q + fzyV + fzztf + fzt = 
und zwar die beiden ersten aus der ersten Gleichung (8), die 
beiden letzten aus der zweiten Gleichung (8). Die zweite und 
dritte Gleichung (9) sind aber miteinander identisch, da f xy = f yx 
nsw. ist. Wir können also hieraus r, s, t berechnen. 
(9) 
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