§ 4. Die Elimination willkürlicher Funktionen 
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differenzieren und darauf c 1} c 2 , . . . c n eliminieren, wird sich 
eine Gleichung zwischen 
x,y, *1, * a -- -8 n -i und y',Zi,z\, ■ ■ ■ s'n-i 
ergeben. Aber z lf z 2} . . . z n _ x bedeuten nach Definition nichts 
anderes als y, y", . . . ^ n_1) und daher z{, z 2 , . . . z' n _ t nichts 
anderes als y", y", . . . y( n \ so daß die hervorgehende Glei 
chung eine Gleichung in x, y, y, y”, . . . y№ ist, nämlich die 
Gleichung (3). 
§ 4. Die Elimination willkürlicher Funktionen. 
89. Lineare partielle Differentialgleichung erster 
Ordnung für eine Funktion von zwei Veränderlichen. 
Eine Verallgemeinerung der Betrachtungen des vorigen Para 
graphen geht hervor, wenn wir uns die Aufgabe stellen, nicht 
mehr eine auftretende willkürliche Konstante, sondern vielmehr 
eine auftretende willkürliche Funktion dadurch zu entfernen, 
daß wir durch Differentiation genügend viele Gleichungen 
bilden, aus denen sie eliminiert werden kann. Ein ziemlich 
einfacher Fall ist dieser: 
Es sollen u und v zwei bestimmt gegebene Funktionen von 
drei Veränderlichen x, y und z sein. Dagegen bedeute v) 
eine willkürliche Funktion von u und v. Wenn wir nun die 
Gleichung vorschreiben: 
(1) 
<&(u, v) = 0 
enthält sie x, y und z und bestimmt, wenn sie nicht frei 
von z ist, die Veränderliche z als Funktion der beiden unab 
hängigen Veränderlichen x und y. Da jedoch die Funktion 0 
beliebig wählbar bleiben soll, definiert (1) nicht nur eine, 
sondern unzählig viele Funktionen z von x und y. Wir fragen 
uns, ob wir eine allen diesen Funktionen z von x und y ge 
meinsame, also von der besonderen Wahl von unabhängige 
Eigenschaft ermitteln können. 
Dies geschieht so: Die Gleichung (1) besagt nur das Eine, 
daß u und v voneinander abhängige Funktionen sein sollen, 
und da z als Funktion von x und y aufgefaßt werden soll, 
besagt sie, daß u und v voneinander abhängig hinsichtlich x