§ 4. Die Elimination willkürlicher Funktionen
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definiert iverden können, was für eine Funktion der u auch
sein mag, der linearen partiellen Differentialgleichung erster
Ordnung:
dz
A + Fx\ + A2 +'' ‘ + A
dz
dx„
0,
ivo A die Funktionaldeterminante von u,, u. 2 , . . u n hinsichtlich
x„ x 2 ,. . . x n allein bedeutet und A t . aus A hervorgeht, ivenn man
in A die Glieder
du,
du 2
3«»
durch
dx ’
l
dx. 9
l
dx.
i
du,
du t
du n
ersetzt.
dz ’
dz 7 ’
dz
Wir hätten dies Ergebnis auch ohne Benutzung des Satzes 4
von Nr. 80 finden können, denn aus CE> = 0 folgt durch voll
ständige Differentiation nach x x , x 2 , . . . x n das System:
d& fdu,
du,
du,
dz
p.) h— +
(» - 1, 2,.
/du n
du n \dx i '
■ ■ n),
d u n
dz
und diese n Gleichungen in den n linear auftretenden Größen
d$ d@ d@
du, ; dn t ’ du n
können, da ihre rechten Seiten gleich Null sind, bekanntlich
nur dann bestehen, wenn ihre Determinante gleich Null ist.
So kommen wir zur Gleichung (2), also auch zur Gleichung (4).
91. Homogene Funktionen. Eine Funktion von meh
reren Veränderlichen heißt homogen und zwar homogen vom
m ten Grade, wenn die Multiplikation aller Veränderlichen mit
einem und demselben, aber beliebigen Faktor t eine Funktion
liefert, die gleich der ursprünglichen Funktion, aber multipli
ziert mit t m , ist. Eine Funktion z — f{x lf x 2 , ... xj von x,,
x 3 , ... x n heißt also homogen vom m ten Grade, wenn für jeden
Wert von t die Gleichung besteht:
f(txi, tx 2 ,. . . tx n ) = t m f(x x , x 2 ,. . . xj = t"'z.
Danach sind x x -f- x 2 -| -j- x n und x x x 2 ... x n homogene
Funktionen ersten bzw. n ten Grades. Ferner ist ]/x t x 2 + Yx 3 x 4
eine homogene Funktion ersten Grades, dagegen ]/x, + ~j/x 3
10 * [90, 91