Full text: Differentialrechnung (1. Band)

§ 4. Die Elimination willkürlicher Funktionen 
147 
definiert iverden können, was für eine Funktion der u auch 
sein mag, der linearen partiellen Differentialgleichung erster 
Ordnung: 
dz 
A + Fx\ + A2 +'' ‘ + A 
dz 
dx„ 
0, 
ivo A die Funktionaldeterminante von u,, u. 2 , . . u n hinsichtlich 
x„ x 2 ,. . . x n allein bedeutet und A t . aus A hervorgeht, ivenn man 
in A die Glieder 
du, 
du 2 
3«» 
durch 
dx ’ 
l 
dx. 9 
l 
dx. 
i 
du, 
du t 
du n 
ersetzt. 
dz ’ 
dz 7 ’ 
dz 
Wir hätten dies Ergebnis auch ohne Benutzung des Satzes 4 
von Nr. 80 finden können, denn aus CE> = 0 folgt durch voll 
ständige Differentiation nach x x , x 2 , . . . x n das System: 
d& fdu, 
du, 
du, 
dz 
p.) h— + 
(» - 1, 2,. 
/du n 
du n \dx i ' 
■ ■ n), 
d u n 
dz 
und diese n Gleichungen in den n linear auftretenden Größen 
d$ d@ d@ 
du, ; dn t ’ du n 
können, da ihre rechten Seiten gleich Null sind, bekanntlich 
nur dann bestehen, wenn ihre Determinante gleich Null ist. 
So kommen wir zur Gleichung (2), also auch zur Gleichung (4). 
91. Homogene Funktionen. Eine Funktion von meh 
reren Veränderlichen heißt homogen und zwar homogen vom 
m ten Grade, wenn die Multiplikation aller Veränderlichen mit 
einem und demselben, aber beliebigen Faktor t eine Funktion 
liefert, die gleich der ursprünglichen Funktion, aber multipli 
ziert mit t m , ist. Eine Funktion z — f{x lf x 2 , ... xj von x,, 
x 3 , ... x n heißt also homogen vom m ten Grade, wenn für jeden 
Wert von t die Gleichung besteht: 
f(txi, tx 2 ,. . . tx n ) = t m f(x x , x 2 ,. . . xj = t"'z. 
Danach sind x x -f- x 2 -| -j- x n und x x x 2 ... x n homogene 
Funktionen ersten bzw. n ten Grades. Ferner ist ]/x t x 2 + Yx 3 x 4 
eine homogene Funktion ersten Grades, dagegen ]/x, + ~j/x 3 
10 * [90, 91
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.