154 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen
Übrigens ist die Darstellungsform y = f(x) einer Kurve
nur ein besonderer Fall der Darstellungsform (1). Ist nämlich
tp(t) gleich t selbst, so wird die Form (1) diese: x = t, y = iy(t)
oder kürzer: y = Im Falle x = t wird ferner x = 1,
x" = 0, x"' = 0,.. . und y =dy:dx, y" — d}y: dx i , .. ., so daß
dann (2), (3) und (4) Identitäten werden.
Ein anderer Spezialfall geht hervor, wenn wir die zweite
Gleichung (1) in der einfachen Form y = t annehmen, da dann
die Kurve in der Form x = <p(y) gegeben ist, also in der zu
y = f(x) inversen Form. In diesem Falle ist y' — 1, y = 0,
y" = 0, . . ., dagegen x = dx : dy, x" = d 2 x : dy* . . ., so daß
(2), (3) und (4) geben:
dx dx’ dx* /dx\ n ’ dx s tdx\ b
dy \dy) \dy)
Es ist oft im Hinblicke auf die Symmetrie und vielseitige
Verwendbarkeit der Formeln vorteilhaft, die Hilfsveränderliche
t nicht zu spezialisieren.
Dieselben Vorteile wie eine Hilfsveränderliche t gewährt
das Rechnen mit Differentialen statt mit Differentialquotienten.
Wenn wir nämlich jetzt wieder unter y, y", y",. . . die Ab
leitungen von y nach x verstehen, also nicht die Ableitungen
nach t, wie es vorhin geschah, so haben wir:
(5) dy^ydx, dy' = y"dx, dy" = y"dx,. ...
Diese Formeln gelten, welche Größe auch die unabhängige
Veränderliche sein mag, nach Satz 11 von Nr. 33. Die erste
Gleichung gibt nun, wie bekannt:
№
Wenn man hierauf die Regel von der Differentiation eines
Bruches anwendet (vgl. dabei Satz 12 von Nr. 75), so kommt,
welche Größe auch die unabhängige Veränderliche sein mag:
n / dxd i y — dyd 2 x
ay = dx^~
oder nach der zweiten Formel (5) durch Division mit dx:
(V
»3]
y
dxd 2 y — dyd 2 x
dx*