§ 5. Einführung von neuen Veränderlichen 
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Dieselbe Regel gibt aufs neue angewandt: 
j /t dx(dxd 3 y — dyd 3 x) — 3d 2 x(dxd 2 y — dyd 2 x) 
( V ' dx i 
oder nach der dritten Formel (5) durch Division mit dx: 
fQS dx(dxd 3 y — dyd 3 x) — 3 d i x(dxd 2 y — dyd 2 x) 
' - y dx 8 
usw. Man erkennt, daß sich iyW mittels der Differentiale von 
x und y bis zu denen von der w ten Ordnung ausdrücken läßt. 
Wenn man in den Formeln (6), (7), (8) usw. das Diffe 
rential dx konstant wählt, also d 2 x = 0, cl s x = 0 usw. an 
nimmt, gehen wieder die definierenden Gleichungen hervor: 
rr 
V = 
d 3 y 
dx 2 ’ 
rrr 
y 
d 3 y 
dx 3 ’ 
94. Einführung einer neuen unabhängigen und 
neuer abhängiger Veränderlicher. Wir stellen uns nun 
die folgende Aufgabe: 
Wenn x, y, z, . . . Veränderliche sind, die sämtlich von nur 
einer unter ihnen abhängen, und wenn unter ihnen x als unab 
hängige Veränderliche betrachtet wird, sollen in einer Funk 
tion V von 
dy d 2 y dz d 2 z 
X > y ’dx’ dx 3 ’ ' ' ’ e > dx’ dx 2 ’’'' 
die Veränderlichen x, y, z,. . . gleich Funktionen von anderen 
Veränderlichen §, 7], g,. . . gesetzt und unter diesen eine, z. B. £, 
als unabhängige Veränderliche betrachtet werden. Wie ist der 
Wert von V als Funktion von |, rj, £,. . . und den Ableitungen 
von r),£,. .. nach £ zu bilden? 
Um diese Frage zu beantworten, hat man zuerst die 
Funktion V mittels der Formeln der vorigen Nummer so aus 
zudrücken, daß darin statt der Ableitungen die Differentiale 
erster und höherer Ordnung von x, y, z, . . . auftreten. Als 
dann ist V eine Funktion von x,y,z,... und ihren Differentialen. 
Nun lassen sich aus den Gleichungen, durch die x, y, z, . . . als 
Funktionen der neuen Veränderlichen definiert werden: 
%=f{£, r i,S> ■ ■ ■)> y^vih ■ • •)> ¿ = £> •••)>•• • 
durch Differentiation die Differentiale 
dx, d 2 x, . . . dy, d 2 y, . . .dz, d 2 z,. . . 
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