156 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
berechnen, und hierbei ist als konstant anzunehmen. Alle 
diese Werte sind in V einzusetzen, und damit ist die Auf 
gabe gelöst. 
Beispiel: Es seien x und y die rechtwinkligen Koordi 
naten der Funkte einer Kurve, wobei x als unabhängige l Veränder 
liche betrachtet ist. Was wird aus dem Ausdrucke 
dx 2 
wenn man an Stelle der rechtwinkligen Koordinaten Polarkoordi 
naten co, q einfuhrt und co als unabhängige Veränderliche ansieht? 
Nach Nr. 93 ist der Ausdruck 
{dx' + dyrf 
dxd 2 y — dyd i x 
Die unabhängige Veränderliche kann dabei irgendwelche sein. 
Nun ist: 
X = Q COS CO, y = Q sin CO, 
also: 
dx = cIq cos cs — q sin co da, dy = dg sin co -j- q cos coda. 
Differenziert man von neuem und nimmt man dco als konstant 
an, so findet man 
d 2 x = d 2 g cos co — 2 sin codgdco — q cos adco 2 , 
d 2 y = d 2 Q sin co -f- 2 cos codQdco — q sin codco 2 . 
Hieraus folgt: 
dx 2 -f dy 2 = dg 2 -f g 2 da 2 , 
dxd 2 y — dyd 2 x = — gd 2 gdco + 2dg 2 dco -4- Q 2 dco 3 . 
Also ist: 
V- 
(rf P 2 -f Q-do-V 
— Qd*Qdco -j- 2dg' 2 dco -j- p s rf( 
95. Eine neue Anwendung. Bei der Aufgabe der 
Einführung von neuen Veränderlichen kann auch der Fall ein- 
treten, wo die ursprünglichen Veränderlichen nicht unmittelbar 
als Funktionen der neuen gegeben sind, sondern mit diesen 
nur durch gegebene Differentialgleichungen verknüpft sind. 
94, 95]