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§ 5. Einführung von neuen Veränderlichen 
Dabei kann es Vorkommen, daß die gegebenen Gleichungen 
zusammen mit denjenigen, die man durch Differentiation aus 
ihnen gewinnt, hinreichen, um die ursprünglichen Veränder 
lichen zu eliminieren und auf diese Weise den vorgelegten 
Ausdruck zu transformieren. Auch hierfür wollen wir ein 
Beispiel geben und denselben Ausdruck wie oben, nämlich 
dx~ 
behandeln. Es soll die Form bestimmt werden, die er annimmt, 
wenn man an Stelle von x und y zwei andere Veränderliche 
q und s einführt, die mit diesen durch die Gleichungen 
(2) * 2 + f = i> 2 , 
(3) dx 2 + dy 2 = ds 2 
verbunden sind, wobei s als unabhängige Veränderliche gelten 
soll. Zunächst transformieren wir wiederum V in 
(4) 
y (dx 2 dy' i )\ 
dxd*y — dy d*x 
Die Differentiation von (2) und (3) ergibt: 
(5) xdx + ydy = QdQ, 
(6) dxddx + dyd 2 y = 0. 
Durch Differentiation der Gleichung (5) erhält man ferner: 
xd 2 x -f yd}y + dx 2 + dy- = dp 2 -f- gd*Q 
oder nach (3): / 
(7) xd 2 x + yd 2 y = Qd 2 Q + dp 2 — ds' 2 . 
Aus den Gleichungen (3), (5), (6), (7) lassen sich dx, dy, 
d 2 x, d 2 y berechnen, und zwar wird aus den Gleichungen (6) 
und (7) erhalten: 
{ydx — xdy)d 2 x =* — (Qd 2 Q + d(f~ — ds 2 )dy, 
also: 
{ydx — xdy)d 2 y = + ({}d 2 Q -f- ä$ 2 — ds 2 )dx, 
dxd' 2 y - dyd' 2 x = iQd Q ^ d d c Q _ x dy ] ~’ 
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