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Kap. IY. Differentiation unentwickelter Funktionen 
97. Einführung von Polarkoordinaten im Raume. 
Wir wenden dies auf den Fall an, wo die rechtwinkligen 
Koordinaten x, y, z im Raume durch Polarkoordinaten r, 6, tp 
ersetzt werden sollen vermöge der Gleichungen: 
(1) x = r sin 6 cos ip, y = r sin 6 sin xp, z = r cos 6, 
die, nach r, 0, tgxp aufgelöst, ergeben: 
(2) r-V^+f + z*, “ se -p£, + y-_piV *«*-*■ 
Ist u eine gegebene Funktion von x, y, z, so stellen wir uns 
also die Aufgabe, ihre partiellen Ableitungen nach x, y, z aus 
zudrücken durch die nach r, 6, xp. Aus (2) folgt: 
xdx ydy -j- zdz 
V**+ y* + ** 7 
xiad dt) = z ( xdx + y d y) — ( x ' + y' : ) dz 
(**+*•'+»■!* 
\ <H,- xdy - ydx 
COS 2 'Ip X 2 
oder mittels der Gleichungen (1): 
dr = sin 6 cos rpdx -f sin 6 sin xpdy -f cos ddz, 
dd = — cos 6 cos xpdx + - cos 6 sin tpdy —— sin ddz, 
(3) 
7 , 1 sin 1b , ,1 cos xb 7 
dtp = . P dx -f - I d u. 
r 6111 0 1 r sin 0 J 
Setzen wir diese Werte in die Gleichung 
ein, so kommt: 
j d u 7 d u j „ , c u T 
du — k— dr -f- jrjr dd -f- dtp 
er dd ' d 
(4) 
du du . n cu cos0 cos ii> 
w- = 3- sin d cos tp 4- ^ 
dx dr ^ ' dd r 
d u sin xp 
dxp r sin 0 ’ 
d u cos i/> 
du du . n . du cos 0 sin xb . 
cy er dd r dxp r sm d } 
du du _ du sin 0 
o == o COS d Tjtt 
dz dr dd r 
Um die vollständigen Ditferentiale dieser Ableitungen 
erster Ordnung von u zu bilden, berechnen wir zunächst die 
partiellen Ableitungen der Werte (4) nach r, d, tp. Es ergeben 
sich die drei Formelgruppen: 
97]