§ 5. Einführung von neuen Veränderlichen 
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98. Der Ausdruck • Man kann die bei 
doc 2 dy 2 dz 2 
der Einführung neuer Veränderlicher notwendigen Rechnungen 
manchmal abkürzen, indem man sich gewisser, den Problemen 
angemessener Kunstgriffe bedient. Um von solchen Verein 
fachungen einen Begriff zu geben, wollen wir eine Aufgabe 
behandeln, deren Lösung für verschiedene mathematische Theo 
rien nützlich ist: In den Ausdruck 
/. \ q d 2 u d 2 u d 2 u 
( Ä ~ dx 2 + Tf + dz 2 
wollen wir an Stelle der rechtwinkligen Koordinaten x, y, z 
die Polarkoordinaten r, 6, ii< einführen, ohne die allgemeinen 
Formeln der vorigen Nummer anzuwenden. 
Da zwischen x, y, z und r, 6, 4> die Beziehungen 
(2) x = r sin 6 cos ip, y = r sin 0 sin ip, z = r cos 6 
bestehen, können wir die neuen Veränderlichen nacheinander 
in zwei Schritteil einführen. Zuerst nämlich behalten wir z 
bei und führen q und ip ©in vermöge: 
(3) x = q cos ip, y = Qsinip, 
so daß q, ip und z die neuen Veränderlichen werden. Alsdann 
behalten wir ip bei und führen r und 6 ein vermöge: 
(4) _ z = rcosö, q = r sinö. 
Die Formeln (3) und (4) zusammen kommen auf die Formeln 
(2) hinaus. Wir bemerken vorweg: Die Formeln (3) und (4) 
zeigen, daß sich x und y ebenso durch q und ip ausdrücken wie 
z und q durch r und 6. Hiervon machen wir nachher zweck 
mäßigen Gebrauch. 
Zuerst also behalten wir z bei und führen statt x und y 
die neuen Veränderlichen q und ip vermöge (3) ein. Es handelt 
sich dabei nur um die Umformung der beiden ersten Summan 
den von 'S. Weil nach (3) 
i) = ]/x 2 + y 2 , ip = arc tg 
ist, kommt: 
da = xdx ^Z_y (l y = cog ^ d x gi n ip dy, 
Yx*+y 2 
dip = 
xdy — ydx 
x 2 + y 2 
™± dx+ ^ dyi 
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