Fünftes Kapitel. 
Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen. 
§ 1. Über unendliche Reihen überhaupt. 
101. Definition der Konvergenz. Unendliche Reihe 
nennt man eine endlose Folge von Zahlen, die nach irgend 
einer Vorschrift nacheinander zu berechnen sind. Wir be 
schäftigen uns in diesem Kapitel nur mit solchen unendlichen 
Reihen, deren Glieder sämtlich reell sind, vgl. Nr. 2. 
Definition: Eine unendliche Reihe u 0 , u t , u % , u 3 , . . . u n ,. .. 
heißt konvergent, wenn die Summe der n ersten Glieder 
S n = U 0 "h U 1 + W 2 + • • • + M n _ 1 
hei unbegrenzt wachsendem Index n einen bestimmten endlichen 
Grenzwert S hat. Ist dies der Fall, so heißt S die Summe 
der Reihe. Andernfalls heißt die Reihe divergent. 
Beispiel: Bei der geometrischen Progression a, ax, ax 2 , 
ax 3 , . . . ax n ,... ist 
S n = a (! + x + H V Z n_1 ) — (1 — X’ 1 ). 
Im Falle x < 1 ist der Grenzwert von x n für unbegrenzt 
wachsendes n gleich Null und daher 
lim S = — a — 
n = oo R 1-* 
Die geometrische Progression konvergiert also für ja; <1. 
Offenbar ist sie divergent für |a?| > 1, da dann x n und mithin 
auch S n für unbegrenzt wachsendes n nach Unendlich strebt. 
Für x = + 1 ist S n = na, also der Grenzwert Unendlich. Für 
x = — 1 ist S n = a (1 — 1 + 1 — • • • i 1), so daß S n keinen 
bestimmten Grenzwert hat. Daher: 
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