174 Kap. V. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
Indexwert n derart geben, daß für jedes positive ganze p die 
Bedingung (2) erfüllt ist. Wir wollen beweisen, daß die Reibe 
alsdann konvergiert. 
Zu diesem Zwecke wählen wir irgendeine endlose Folge 
von lauter beständig abnehmenden positiven Zahlen 
r x > t 2 > r 3 > • • • > r f • • ■, 
die nach Null strebt (wie z. B. die Folge 1, 1 /s> • • • V»> • • •)• 
Nun seien n lf n s , w 3 , . . . n { , . . . diejenigen zu diesen Werten 
gehörigen Indexwerte, für die die zugehörigen Voraussetzungen 
(2) bestehen, so daß allgemein 
-*i< U n i + U n i + !+••• 
+ \ 
+P-1 < T « 
ist, wofür wir auch schreiben können: 
S m< *1 
für 
m > n Y , 
^ ~ X 2 S m <. S n ^ + x 2 
für 
m > n 2 , 
(3) 
S n , - r 3< S rn< S n 3 + T 3 
für 
m > w 8 , 
Snt ~ T i <S m < S H . 4- x i 
für 
m > 
Betrachten wir jetzt die unendliche Reihe der Zahlen: 
S„1 t lf Sn t Tg, S„ t Tg, ... S %i T if . . .. 
Die erste wollen wir mit p x bezeichnen, die größere von den 
beiden ersten mit p 3 , die größte unter den drei ersten mit p s 
usw., allgemein die größte unter den i ersten mit p r Ferner 
betrachten wir die unendliche Reihe der Zahlen: 
$/ij 4~ r i> 4" T 2f + «*,... S n . 4" x i) • • •• 
Die erste Averde mit q x bezeichnet, die kleinere von den beiden 
ersten mit q 2 , die kleinste unter den drei ersten mit q 3 usw., 
allgemein die kleinste unter den i ersten mit q r Alsdann ist 
Pi £p* £p ä £■ ■ ■ £Pi ■ 
und 
2i > • ’ • • • * 
Ferner ist: 
Pi<&> P>< <h> Pi < Qi, * • * Pi < Qi, • • •• 
Außerdem: 
P\ = 2, g'g 2h = “ T 2; ’ ' ‘ Qi Pi 
10»]