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Kap. I. Einleitende Begriffe 
aller gebrochenen Zahlen. Das so gewonnene Gebiet heißt der 
Bereich aller rationalen Zahlen. In ihm gelten die genannten drei 
Gesetze immer noch. Alle rationalen Zahlen stehen in einer 
Rangordnung. Sind nämlich a/b und cjd zwei rationale Zahlen, 
so dürfen a, b, c, d als ganze Zahlen und insbesondere die 
Nenner b und d als positive Zahlen vorausgesetzt werden; als 
dann heißt a/b> c/d, wenn ad >bc ist. Für alle rationalen 
Zahlen gelten nun die Gesetze: 
Ist p > q und q > r, so ist auch p > r. 
Ist p> q, so ist auch p + r > q + r. 
Ist v> q und r > 0, so ist auch pr > qr. 
Ist p~> q, aber r < 0, so ist jedoch pr <Cqr. , 
Null und Eins heißen Modul der Addition bzw. Multipli 
kation, da ihnen die Eigenschaften zukommen, daß für jede 
rationale Zahl p 
p-{-0 = 0-\-p=p, p . \ = 1 . p = p 
ist. Das Produkt der beiden Moduln ist gleich Null, d. li. gleich 
dem Modul der Addition. Die Null spielt daher eine besondere 
Rolle im Gebiete der Multiplikation; für jede rationale Zahler ist: 
p . 0 = 0 . p = 0. 
Daraus folgt: Die Division mit Null ist unbestimmt und muß 
daher vermieden werden 
Jede rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist, liegt zwi 
schen zwei ganzen Zahlen a und a + 1 und ist also in der 
Form a -f b/c darstellbar, wo b/c ein positiver echter Bruch und 
1/c ein Stammbruch heißt. Jeder Stammbruch 1 ¡c läßt sich 
vermöge fortgesetzter Division von 10, 100, 1000 usw. mit 
c in einen Dezimalbruch verwandeln; da die Beste bei den Di 
visionen zwischen 0 und c liegen, kehrt dabei nach höchstens 
c Operationen der alte Rest wieder, oder aber die Division 
geht nach höchstens c Operationen auf. Die rationalen Zahlen 
überhaupt sind mithin durch Dezimalbrüche darstellbar, und zwar 
entweder durch endlose, aber periodische oder durch endliche De 
zimalbrüche. In der Arithmetik wird gezeigt, daß umgekehrt 
jeder derartige Dezimalbruch in der Form a -f b/c darstellbar 
ist, wo a ganzzahlig und b/c ein positiver echter Bruch ist. 
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