216 Kap. Y. Entwicklung der Funktionen in Potenx.reihen 
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was dasselbe ist, der Reihe (2) mit u n , so haben wir zunächst, 
wie schon gesagt wurde: 
(3) 
St + l 
U n 
- 1 - 
m-\- 1 
Wir lassen hier die Striche, die den absoluten Betrag der 
rechten Seite andeuten, deshalb fort, weil wir annehmen können, 
daß n schon größer als m -j- 1 gewählt worden sei. Wir be 
trachten andererseits die Reihe 
1 |_ 
i m + 1 ' 
)»» + 
1 ’ ' ' “t“ „bi + 1 "f" 
die für m > 0 nach dem Beispiele in Nr. 105 konvergiert. 
Ist v n ihr « teB Glied, so haben wir: 
_( 1+ ±)— 1 . 
v n \ nl 
Diese Potenz kann nach (1) und (2) in Nr. 125 entwickelt 
werden, wenn in jener Formel x durch 1 : n, m durch —m — 1 
und n etwa durch 2 ersetzt wird. Dann kommt: 
+ ( m+1 )( r+2) ( 1 + j). 
? n -f 1 ^ tu -}- 1 
~V n _ ~ 
wobei 6 einen positiven echten Bruch bedeutet. Da der letzte 
Summand positiv ist, zeigt die Vergleichung mit (3), daß 
*n+l ^ n + i 
v„ 
d. h. 
«+ i 
vTi 
< 
wird. Wenn nun für irgendeinen bestimmten Wert n etwa 
u n = kv n ist, folgt hieraus u H+i < kv n+1 , u n+% <kv H+i usw. 
Die Reihe u t + % + ••• mit lauter positiven Gliedern kon 
vergiert mithin, weil die Reihe v t + v 2 -f- • • • konvergent ist 
(vgl. Satz 10, Nr. 105). Also folgt: Die Heiken (1) und (2) 
sind unbedingt konvergent für m > 0. 
Zusammengefaßt: Die Heike (1) konvergiert für m 0 
imbedingt und für — 1 < m < 0 bedingt, die Heike (2) konvergiert 
für m 0 unbedingt, ln allen andern Fällen sind die Heiken 
divergent. 
Da (1 + x) m für x — + 1 gleich 2 m und für x — — 1 
und m > 0 gleich Null ist, wird man vermuten, daß die erste 
Reihe, falls sie konvergiert, gleich 2 m und die zweite gleich 
Null ist, was in der Tat von Abel bewiesen worden ist. Wir 
gehen hierauf jedoch nicht ein.