§ 4. Reihenentwicklungen nach positiven und negativen Potenzen 217 
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§ i. Reihenentwicklungen nach positiven und negativen 
Potenzen. 
127. Allgemeine Kegeln. Wird eine Funktion f(cc) oder 
eine ihrer Ableitungen für x = x 0 unstetig, so kann man 
f(x Q -f- 7() nicht nach dem Taylorschen Satze in eine unendliche 
Reihe entwickeln, z. B. nicht ln (x 0 + h) für x 0 = 0. Dies ist 
der Grund, weshalb wir in Nr. 120 nicht ln#, sondern ln(l -\-x) 
entwickelt haben. 
Um aber auch in solchen Fällen ein Verfahren zur Be 
rechnung der Funktion zu gewinnen, wollen wir annehmen, die 
Funktion f(x) habe, wenn x nach einem gewissen Werte x 0 
hinstrebt, den Grenzwert -f- oo oder — oo. Die einfachste 
derartige Funktion ist: 
l 
x — x 0 
Nun kann es sein, daß man eine Potenz von x — x 0 mit 
positivem Exponenten m so ausfindig machen kann, daß das 
Produkt von fix) mit ihr für x = x 0 nicht mehr den Grenz 
wert Unendlich, sondern einen endlichen und von Null ver 
schiedenen Grenzwert hat, daß also 
(1) lim (x — xf) m fix) = A 
x = x 0 
ist, wo A eine endliche Zahl 4= 0 bedeutet. Dann sagt man, 
daß f(x) an der Stelle x 0 in der m ten Ordnung mit 1: (x — x 0 ) 
unendlich wird. Es kann, wenn überhaupt, nur eine solche 
Zahl geben, denn jede andere Potenz (x — x 0 ) n ist in der 
Form (x — x 0 ) m (x — x 0 ) n ~ m darstellbar, also: 
lim (x — x 0 ) n f(x) = lim (x — x 0 ) n ~ m . lim (x — x 0 ) m f(x), 
x — x 0 X —x 0 x = x 0 
so daß aus (1) folgt: 
lim {x — x 0 ) n f(x) = A lim ix — x 0 ) n ~ m . 
X — Xq = X 0 
Für n < m ist dieser Grenzwert Unendlich, für n > m Null. 
Wir geben bei dieser Gelegenheit zugleich eine zweite 
Definition: Wenn fix) für x = x 0 den Grenzivert Null hat, 
sagt man, daß fix) an der Stelle x () in der m ten Ordnung mit 
x — x 0 zu Niäl ivird, wenn man eine positive Zahl m so aus 
findig machen kann, daß