218 Kap. V. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
(2) 
x = x 0 (X X 0 ) 
nämlich gleich einem bestimmten endlichen Werte A=^0 wird. 
Hier kann man entsprechend beweisen, daß, wenn es überhaupt 
eine derartige Zahl m gibt, nur eine vorhanden ist. 
In den beiden Fällen (1) und (2) wird 
(x — x 0 ) m f(x) bzw. 
eine Funktion f t (x) von x, die für x = x 0 einen endlichen 
und von Null verschiedenen Wert A anniramt. Wir können 
also beide Formeln in die eine zusammenfassen: 
f(x) = 0 - x 0 ) n fi(. x )i 
(3) 
wobei f x (x) für x = x 0 endlich und von Null verschieden ist 
und n sowohl positiv als auch negativ sein kann. Ist n > 0, 
so hat f(x) für x = x 0 den Grenzwert Null und wird dort 
gleich Null in der n toa Ordnung; ist n < 0, so hat f(x) für 
x = x 0 den Grenzwert Unendlich und wird dort unendlich groß 
in der (— w) ten Ordnung. 
Bedeutet A wie bisher den endlichen und von Null ver 
schiedenen Wert, den f x {x) für x = x 0 erreicht, so ist f\{x) — A 
eine Funktion, die für x = x 0 den Grenzwert Null hat. Wird 
sie dort gleich Null in der Ordnung, so ergibt sich 
weiterhin: 
/iO) -A = (x- x o y>f 2 (x) 
(4) 
wo f 2 (x) für# = a; 0 einen endlichen und von Null verschiedenen 
Wert A t hat, so daß f 2 (x) — A x für x = x 0 wieder den Grenz 
wert Null hat. Wird f 2 (x) — A l dort gleich Null in der 
« 2 ten Ordnung, so kommt: 
(5) 
f 2 (x) - A x = (x- x 0 )”*f 3 (x), 
wo f 3 (x 0 ) endlich und von Null verschieden ist, usw. Nach 
(3) und (4) wird: 
f(x) — A(x - x 0 ) n + (x — x 0 ) n+ ”‘f 2 (x), 
also nach (5): 
(6) f(x) =A(x — x 0 ) n -\-A 1 (x — x 0 ) n +"* + (x — x 0 ) n +•» + "‘/s(x). 
Kann man in dieser Weise eine Anzahl einzelner Schritte 
machen, so erhält man allgemein: 
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