§ 1. Von den Zahlen 
3 
et heißt der 
Dünnten drei 
aen in einer 
naie Zahlen, 
sondere die 
werden,- als- 
* rationalen 
Multipli- 
J für jede 
1. h. gleich 
besondere 
Zahl p ist: 
it und muß 
, liegt zwi- 
ilso in der 
Bruch und 
c läßt sich 
) usw. mit 
>ei den Di- 
t höchstens 
ie Division 
alen Zahlen 
r, und war 
mdlick Be- 
umgekehrt 
; darstellbar 
• Bruch ist. 
Da man die Differenz zwischen zwei rationalen Zahlen in 
beliebig viele gleiche Teile teilen kann, so folgt: Zwischen 
zwei rationalen Zahlen liegen, wie wenig auch ihre Differenz 
von Null ab weichen mag, stets noch unzählig viele rationale 
Zahlen. Dies meint man, wenn man kurz sagt: Der Bereich 
der rationalen Zahlen ist überall dicht. 
2. Der Bereich der reellen Zahlen. Kann man alle 
rationalen Zahlen in zwei Klassen derart teilen, daß jede Zahl 
der ersten Klasse kleiner als jede Zahl der zweiten Klasse ist, 
so sind drei Fälle denkbar: Entweder gibt es eine größte Zahl 
der ersten Klasse oder ziveitens eine kleinste Zahl der zweiten 
Klasse oder drittens weder das eine noch das andere. Der erste 
Fall liegt z. B. vor, wenn wir zur ersten Klasse alle rationalen 
Zahlen kleiner oder gleich 2,5 rechnen. Alsdann enthält die 
zweite Klasse alle rationalen Zahlen größer als 2,5. Es gibt 
hier keine kleinste Zahl der zweiten Klasse, denn zwischen 2,5 
und jeder größeren rationalen Zahl liegen ja noch unzählig 
viele rationale Zahlen. Der zweite Fall dagegen liegt vor, 
wenn wir zur ersten Klasse alle rationalen Zahlen kleiner als 
2,5 und zur zweiten alle rationalen Zahlen größer oder gleich 
2,5 rechnen. In beiden Beispielen sagen wir, daß die rationale 
Zahl 2,5 die Grenze zwischen den beiden Klassen sei. 
Es kann aber, wie gesagt, drittens Vorkommen, daß es 
keine rationale Zahl derart gibt, daß alle Zahlen der einen 
Klasse kleiner oder größer als diese Zahl sind. In diesem 
Falle sagt man, daß die Grenze zwischen beiden Klassen eine 
irrationale Zahl sei, die größer als alle Zahlen der ersten und 
Meiner als alle Zahlen der zweiten Klasse heißt. Zwei irra- i 
tionale Zahlen heißen gleich, wenn durch sie alle rationalen 
Zahlen in dieselben beiden Klassen geteilt werden. Yon zwei 
irrationalen Zahlen heißt eine größer als die andere, wenn es 
rationale Zahlen gibt, die kleiner als die eine und größer als 
die andere sind. Alle rationalen und irrationalen Zahlen stehen 
also wieder in einer Rangordnung. Ihre Gesamtheit heißt der 
Bereich edler reellen Zahlen. 
Jede irrationale Zahl liegt zwischen solchen rationalen 
Zahlen, deren Differenz beliebig wenig von Null verschieden 
gemacht werden kann. Eine reelle Zahl überhaupt ist voll- 
1* [1, 2 
/