§ 5. Bestimmung von Grenzwerten 
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§ 5. Bestimmung von Grenzwerten. 
129. Grenzwert eines Bruches an einer Stelle, 
wo Zähler und Nenner verschwinden. Wenn eine Funk 
tion in der Form eines Bruches f(x):F(x) gegeben ist, kann 
es eintreten, daß Zähler und Nenner für einen gewissen Wert 
x 0 von x beide gleich Null werden. 
Es handelt sich dann darum, zu ermitteln, welchen Grenz 
wert der Bruch f(x) : F(x) für lim x = x 0 hat. Wir wollen 
annehmen, daß sowohl fix) als auch F(x) in einer Umgebung 
der Stelle x 0 nebst ihren ersten Ableitungen f'(x) und F'ix) 
stetig seien. 
Wählen wir alsdann den absoluten Betrag von h so klein, 
daß x 0 -f- h in der Umgebung von x 0 liegt und F'ix) außer 
höchstens für x = x 0 nicht in der Umgebung verschwindet, so 
ergibt sich nach Satz 10 in Nr. 31: 
f(x 0 + h ) = f'(Xo + \) 
F(x 0 + h) F'(x 0 +\) 
Dabei bedeutet h t eine zwischen 0 und h gelegene Zahl. Für 
lim h = 0 kommt also: 
lim wj\ 
lim 
X — Xq 
f\x) 
F'(x) 
y 
mithin: 
Satz 25: Wenn zwei Funktionen fix) und F(x) für x = x 0 
Leide gleich Nidl sind und sich nebst ihren ersten Ableitungen 
in einer Umgebung von x 0 stetig verhalten, ist: 
lim 
X = X 0 
fix) 
F(x) 
lim 
x — x 0 
fix) 
F' (x) 
Wir heben hierbei hervor, daß es noch dahingestellt bleibt, 
ob überhaupt ein Grenzwert von f'(x):F'(x) für lim x = x 0 
vorhanden ist. Gibt es einen, so ist er notwendig der gesuchte 
Grenzwert. 
Übrigens kann man den Satz 25 auch auf einem andern 
Wege sehr einfach beweisen: 
Da nämlich f[x 0 ) == 0 und F(x 0 ) = 0 ist, hat man zunächst: