222 Kap. V. Entwicklung (1er Funktionen in Potenzreihen 
Weil man aber rechterhand Zähler und Nenner mit x — x 0 
dividieren darf, ergibt sich hieraus: 
f(x) — fix o) 
F(x) F(x)-F(x 0 )’ 
Nun wird der Gren*tibergang lim x = x 0 gemacht. Nach der 
Definition der Ableitung in Nr. 27 sind die Grenzwerte von 
Zähler und Nenner rechterhand die Ableitungen von f(pc) und 
F(x) für x = x 0 . Mit Rücksicht auf Satz 32 von Nr. 24 
geht also beim Grenzübergange lim x = x 0 wieder die Formel 
des Satzes 25 hervor. 
Die Ermittelung des Grenzwertes des Bruches für lima; = :r 0 
wird durch den Satz 25 auf die des Grenzwertes des Bruches 
f'(x) : F'(x) für lim x = x 0 zurückgeführt. Wenn nun f'(x) 
und F'(x) beide für x = x 0 gleich Null sind, können wir den 
Satz 25 statt auf f(x):F(x) auf f'(x):F\x) anwenden, so daß 
wir dann finden: 
vorausgesetzt, daß f (x) und F'(x) in einer Umgebung von x 0 
nebst ihren Ableitungen f"(x) und F"(x) stetig sind. Diesen 
Schluß können wir wiederholen, wenn f"(x 0 ) und F"(x 0 ) gleich 
Null sind, usw. Hiernach leuchtet ein, daß der folgende 
Satz gilt: 
Satz 26: Wenn zwei Funktionen f(x) und F(x) nebst ihren 
n ersten Ableitungen in einer Umgebung der Stelle x = x 0 stetig 
sind und nebst ihren n — 1 ersten Ableitungen für x = x 0 ver 
schwinden, ist 
lim —— = lim -CülM.. 
Die Sätze 25 und 26 gelten auch, wenn der Grenzwert 
für lim £ 0 = + 00 zu bestimmen ist Es genügt zu beweisen, 
daß Satz 25 richtig bleibt für lim x 0 = + oo. 
Wir setzen zu diesem Zwecke x=l:z, so daß 
fix) 
F(x) 
1*9]