224 Kap. y. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
Wir wollen den Satz zuerst für lim x 0 = + oo beweisen. 
Unter der Umgebung von x 0 ist dann die Gesamtheit aller 
Werte x zu verstehen, die größer als eine gewisse Zahl n sind. 
Bedeuten x t und x zwei solche Werte und ist x>x lf so gibt 
es nach Satz 10 von Nr. 31 einen Wert x 2 zwischen x t und x 
derart, daß 
f(x) — f(x t ) _ f'(x t ) 
F(x) — F{x x ) F'(x t ) 
wird. Diese Gleichung kann auch so geschrieben werden: 
f(x.) 
(i) 
a) Es sei nun zunächst ein endlicher Grenzwert 
vorhanden. Wenn man dann eine beliebig kleine positive 
Zahl 6 vorschreibt, gibt es eine Zahl x 1 derart, daß nicht nur 
IPSM« 
wird, vielmehr diese Ungleichung auch für jedes größere x 
besteht. Da x 2 > x l ist, wird also: 
Die Gleichung (1) liefert demnach: 
fix.) 
Setzen wir jetzt für x den Grenzwert + oo, während x i fest 
bleibt, so ergibt sich: 
fix l) 
Der zweite Grenzwert ist gleich Eins, also folgt: 
130J