226 Kap. Y. Entwicklung der Funktionen in Potenzreihen 
lim f!' X ^ = lim 
/ '(*"+T) = lim - r ("* + T)4< 
""^0+4) •=”—f'(*.+4)4 
= lim 
lim 
/» 
•— + —• F<x) 
Mithin gilt der Satz 27 auch in diesem Falle. 
131. Beispiele. 
1. Beispiel: In den beiden Brüchen 
sin X tg X 
X X 
verschwinden Zähler und Nenner für x — 0. Nach Satz 25 
von Nr. 129 ist also, wie sich schon in in Nr. 26 ergab: 
.. sin x i. cos x , 
lim = lim —— = 1, 
x l 7 
* = 0 
lim = lim —K 
= 1, 
* = 0 * * = 0 * 
2. Beispiel: Zähler und Nenner des Bruches 
eVe~ -2z 
£c — sin a; 
werden ebenso wie ihre ersten und zweiten Ableitungen für 
x = 0 sämtlich gleich Null. Die Ableitungen dritter Ordnung 
sind 
e* + e~ x und cos x 
imd haben für x — 0 die Werte 2 und 1. Folglich hat der 
Bruch nach Satz 26 von Nr. 129 für lima: = 0 den Grenzwert 2. 
3. Beispiel: Zähler und Nenner des Bruches 
X — 1 — ln X 
sind gleich Null für x=l, desgleichen ihre Ableitungen erster 
Ordnung: 
ar*(l + ln x) — 1 und 1 — ~ 
Die Ableitungen zweiter Ordnung 
af [(1 + ln x) % -f und ~ 
130, 1311