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Kap. I. Einleitende Begriffe 
ständig definiert, sobald zwei endlose böigen von rationalen 
Zahlen p x , p 2 , j> 3 , . . . und q x , q 2 , q s , . . . irgendwie, aber so 
definiert sind, daß erstens die p der Reihe nach immer größer 
werden (p n+x ^>p„)> zweitens die q der Reihe nach immei klei 
ner werden (q n + 1q n )> drittens jedes p kleiner als jedes q ist 
und viertens die (stets positive) Differenz q n —p n dadurch, daß 
man den Index n hinreichend groß wählt, kleiner als eine be 
liebig klein gewählte positive rationale Zahl 6 gemacht werden 
kann. Denn unter diesen Voraussetzungen ist, wie man zeigen 
könnte, eine jede beliebig gegebene rationale Zahl entweder 
größer als alle p oder kleiner als alle q, so daß alle rationalen 
Zahlen in der Tat in zwei Klassen geteilt sind. Diese Art der 
Definition liegt z. B. vor, wenn eine irrationale Zahl durch einen 
endlosen und nicht periodischen Dezimalbruch definiert wird. 
Wenn z. B. ]/2 berechnet werden soll, gibt es ja eine A or- 
schrift, nach der man den Dezimalbruch 1,4142 . . . Ziffer für 
Ziffer berechnen kann. Wird er nun nach der n teu Dezimalstelle 
abgebrochen, so entsteht eine rationale Zahl p n . Wird in ihr 
die letzte Dezimale um eine Einheit erhöht, so entsteht eine 
größere rationale Zahl q n . Dabei ist q n — p n = 1 : 10”. Augen 
scheinlich nimmt hier die Reihe aller p n zu, die aller q n ab; 
außerdem ist jede Zahl p kleiner als jede Zahl q, und, wenn 
man eine beliebig kleine positive rationale Zahl <? gewählt hat, 
kann man n so groß annehmen, daß 1 : 10” und mithin q n — p n 
kleiner als <? wird. 
Man hat die Rechenregeln mit Hilfe des Grundsatzes von 
der Erhaltung der formalen Gesetze auf den Bereich aller 
reellen Zahlen so übertragen, daß auch hier alle in Nr. 1 auf 
gestellten Gesetze gelten. Da schon der Bereich aller ratio- 
\ nalen Zahlen überall dicht war, ist um so mehr der Bereich 
aller reellen Zahlen überall dicht. 
Über den Bereich aller reellen Zahlen soll bis auf weiteres 
nicht hinausgegangen werden. Vielmehr verstehen wir in der 
Folge, solange nicht ausdrücklich eine andere Festsetzung ge 
troffen wird, unter Zahl oder Größe schlechtweg immer eine 
reelle Zahl. 
3. Darstellung der reellen Zahlen durch Strecken 
auf einer Geraden. Auf einer etwa wagerechten Geraden <y 
3]