§ 6. Der Taylorsche Satz f. Funktionen v. mehreren Veränderlichen 233 
§ 6. Der Taylorsche Satz für Funktionen von mehreren 
Veränderlichen. 
137. Der verallgemeinerte Taylorsche Satz. Ist 
u = F(x, y, z, . . .) eine Funktion von mehreren Veränderlichen, 
so ensteht die Aufgabe, die Funktion 
u -f du — F{x -f \ y + Tc, 2 -f- l,. . .) 
in eine Reihe zu entwickeln, die nach ganzen positiven Po 
tenzen der Größen Ti, Tc, l,. . . fortschreitet. Die Größe u + zlu 
ist der Wert, den die Funktion von t: 
U = F(x -f- Tit, y -j- Tct, 2 -f- It,. ..) 
für t = 1 annimmt. Um die Aufgabe zu lösen, wird es also 
ausreichen, U nach der Maclaurinschen Formel in eine Reihe, 
geordnet nach Potenzen von t, zu entwickeln und schließlich 
t = 1 zu setzen. Substituiert man 
x -Tnt — t,, y -{- lit — rj, 2 + It = £,. . ., 
so hat man: 
Ü = F(%, 7], g,.. .) 
und nach Nr. 75: 
jrr dü . dU , . dU ,, . 
dü — -g|- dl + drj + -y d% + • • • 
Da l, 17, £, . . . lineare Funktionen der unabhängigen Veränder 
lichen t sind, kann man das Differential w ter Ordnung d n U nach 
dem in Nr. 76 angegebenen Verfahren aus der w ten Potenz 
Kdi d ^ + -^ dr > + ~dt di + '") 
gewinnen. Dabei sei vorausgesetzt, daß alle partiellen Ablei 
tungen von U, soweit sie gebraucht werden, stetige Funktionen 
von l, rj, £, .. . seien, so daß sie auch stetige Funktionen von t 
werden. Nun sind dl, drj, d%, . . . gleich h dt, Tc dt, l dt, . . . . 
Außerdem ist 
dü dü dl du 
dx ~ dl dx~ dl USW,J 
so daß d n U:dt n aus der Potenz