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§. 6. Der Taylorsche Satz f. Funktionen v. mehreren Veränderlichen 237 
liehen mit dem Faktor 1 -f- a, so erhält die ursprüngliche Funk 
tion den Faktor (1 -|- a) m ; man hat also: 
fiPi + ^2 + <***, •■•«» + = (1 + a) m f(x u x 2 ,... x n ). 
Entwickelt man beide Seiten dieser Gleichung in eine nach 
Potenzen von a geordnete Reihe, so ergibt die linke Seite: 
f{x x , x 2 , . . . x n ) -f a (x t ^ ^ + • • • + x n 
\ a ~ ( 2 d*f 1 1 9 1 o d 2 f . \ 1 
+ sip äv + '" + äv + 2X1X1 + •'•)+■■' 
und die rechte Seite nach Nr. 125: 
f( x i, x n ) (l + ma + W(OT 2 ~ 1} ß 2 + • • •) • 
Diese Reihe, die unendlich viele Glieder hat, wenn m keine 
ganze positive Zahl bedeutet, konvergiert nach Nr. 125, wenn 
a | < 1 ist. Die beiden nach Potenzen von a fortschreitenden 
Reihen müssen identisch sein; vergleicht man also die Koeffi 
zienten gleich hoher Potenzen von a, so kommt: 
*1 w, + *• wi, +' •' + *. ^ “ “A*.. *i> • • • O, 
f ** S ffj. + 2*!% ^ H — «»(»»— 1 )/(*!, *2, •••*„), 
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TOD 
Die erste dieser Gleichungen drückt die wesentliche Eigen 
schaft homogener Funktionen aus, die wir von neuem ableiten 
wollten. Sie zieht alle folgenden Gleichungen nach sich, 
denn da die linke Seite der ersten Gleichung homogen von 
m ter () r d nim g ist, geht aus dieser Gleichung eine richtige neue 
Gleichung hervor, wenn in ihr f durch eben jene linke Seite 
df 
df . df . 
x i faT + x 2 + 
O I “p X n o 
dx 9 dx r 
ersetzt wird. So ergibt sich die zweite Gleichung, aus ihr 
durch dasselbe Verfahren die dritte usw. Allgemein hat man 
symbolisch: 
{«14 + *«/«,H + X nfx n }* = m 0 m - 1) - ■ - (m -Tc + l)f 
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