§ 1. Von den Zahlen 
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werden zwei Punkte, der Nullpunkt 0 und der Einheitspunkt E, 
irgendwo festgesetzt, der Einkeitspunkt etwa, um etwas Be 
stimmtes vor Augen zu haben, rechts vom Nullpunkte. Die 
Strecke OE soll die Strecke Eins heißen. Durch ihre Ver 
vielfältigung über E hinaus erhält man eine Reihe von End 
punkten. Die Strecken von 0 bis zu ihnen heißen die Strecken 
2, 3, 4 usw. Durch beständiges Abtragen von OE über 0 
hinaus nach der anderen (linken) Seite entstehen ebenso die 
Strecken —1, —2, —3 usw. Da jede rationale Zahl nach 
Nr. 1 in der Form a b/c darstellbar ist, können wir jede 
rationale Zahl ebenfalls als Strecke abbilden, indem wir den 
Unterschied der Strecken a und a -f- 1 in c gleiche Teile teilen 
und den & ten Teilpunkt als Endpunkt wählen. Jede rationale 
Zahl wird somit durch eine in 0 beginnende und positiv oder 
negativ, d. h. nach rechts oder links, gerichtete Strecke dargestellt. 
Man kann auch sagen, und das ist oft eine bequemere 
Ausdrucksweise, daß jede rationale Zahl durch einen Funkt 
auf der Geraden dargestellt wird, nämlich durch den End 
punkt der zugehörigen Strecke. Der Rangordnung der ratio 
nalen Zahlen entspricht die Anordnung dieser Punkte auf der 
Geraden im Sinne der Richtung von 0 nach E. Die Bild 
punkte liegen überall dicht. 
Trotzdem enthält die Gerade g noch unzählig viele Punkte, 
die nicht Bildpunkte von rationalen Zahlen sind. Wenn man 
z. B. in einer Ebene durch g das Quadrat über OE errichtet 
und seine Diagonale von 0 an über E hinaus auf g abträgt, 
ist der Endpunkt D kein Bildpunkt einer rationalen Zahl, weil 
]/2 keine rationale Zahl ist, Avie man beweisen kann. Wenn 
man nun in D noch beliebige rationale Vielfache der Strecke 
Eins anträgt, kommt man daher zu unzählig vielen Punkten, 
die nicht Bildpunkte von rationalen Zahlen sind. Es folgt, daß 
um so mehr alle diejenigen Punkte der Geraden, die nicht 
Bildpunkte von rationalen Zahlen sind, überall dicht liegen. 
Solche Stellen können wir als Bildpunkte von irrationalen 
Zahlen definieren. Wenn nämlich eine irrationale Zahl wie in 
Nr. 2 durch die beiden endlosen Folgen p^<.p^<iVs usw - unc ^ 
#i>9 , 2>#3 usw - von rationalen Zahlen gegeben ist, so ge 
hören zu beiden Folgen zwei endlose Folgen von Bildpunkten.