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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
fipco + h) - f(x Q ) — hf Oo + ÖÄ), 
wobei ö einen positiven echten Bruch bedeutet. Im Falle des 
Maximums muß daher hf(x 0 + Oh) überall im Intervalle für 
positives und negatives h negativ sein, d. h. für jeden ‘positiven 
Wert von h, der kleiner als G ist, muß 
f'(x 0 - Oh) > 0, f{x 0 + Ö/O < 0 
sein. Im Falle des Minimums ergibt sich dagegen umgekehrt: 
f'(x 0 — Oh) < 0, f'(x 0 -f Oh) > 0. 
Da diese Ungleichungen gelten sollen, wie klein auch die po 
sitive Zahl h gewählt sein mag, und da die Ableitung stetig 
ist, folgt für lim/i = 0 in beiden Fällen: 
rw - 0. 
Dies also ist eine notwendige Bedingung des Maximums oder 
Minimums. Sie reicht jedoch nicht hin, wie das zweite der 
folgenden Beispiele zeigt. 
Die Maxima und Minima einer Funktion heißen zusammen 
die Extremwerte der Funktion. 
141. Beispiele. 
1. Beispiel: Die Funktion f(x) = x(a — x) hat eine über 
all stetige Ableitung f'(x) = a — 2x, die gleich Null wird für 
x = \a. Vorher ist f’(x) positiv, nachher negativ, d. h. nach 
Satz 9, Nr. 30, wächst f(x), wenn x bis |a zunimmt, und 
nimmt ab, wenn x weiter über \a hinaus wächst. Demnach 
hat f(x) für x = \a ein Maximum und sonst keinen Extrem 
wert (für endliche Werte von x). Der Maximalwert ist -öt. 
2. Beispiel: Auch bei der Funktion f(x) — {a — x) z ist 
die Ableitung f'(x) = — 3 (« — x)~ überall stetig und insbeson 
dere gleich Null für x = a. Vorher ist f\x) negativ und auch 
nachher, d. h. f{x) nimmt ab, wenn x bis a wächst, und nimmt 
immer weiter ab, wenn x über a hinaus wächst. Die Funk 
tion hat also weder ein Maximum noch ein Minimum (für 
endliche Werte von x). 
3. Beispiel: Die Funktion f{x) =f / (#— a )~ hat die Ab 
leitung f'(x) = 2 : 3]/^ — a, die für x < a stetig und negativ, 
für x > a stetig und positiv ist, so daß f(x) bis x = a ab 
nimmt und von da an wächst, also für x = a ein Minimum, 
140, 141]