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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
dasselbe Vorzeichen wie f w (x 0 ). Ist f (n) (x 0 ) insbesondere nega 
tiv, so wird also überall im Intervalle f(x 0 + h) < f(x 0 ), so daß 
für x = ein Maximum eintritt. Ist dagegen f (n \x, 0 ) positiv, 
so wird überall im Intervalle f(x 0 -f h) > f(x 0 ), so daß für 
x = x 0 ein Minimum eintritt. 
Wenn jedoch der Index n ungerade ist, wird h n in der 
ersten Hälfte des Intervalles negativ und in der zweiten po 
sitiv, d. h. dann wechselt f(x 0 + h) — f(x 0 ) das Zeichen, wenn 
h durch den Wert Null geht, so daß weder ein Maximum noch 
ein Minimum für x = x 0 eintritt. Folglich: 
Satz 1: Eine Funktion f(x) kann für x = x 0 nur dann einen 
Extremivert haken, wenn f'(x) für x = x 0 gleich Nidl und außer 
dem diejenige erste unter den Ableitungen f'(x), f" ix),..., 
die für x = x 0 nicht verschwindet, von gerader Ordnung ist, 
Wenn es die n te Ableitung ist, tritt ein Maximum oder Mini 
mum ein, je nachdem f^ n \x Q ) negativ bzw. positiv wird. Hierbei 
ist vorausgesetzt, daß die Funktion nebst ihren Ableitungen bis 
zur (n -f- l)' in Ordnung bestimmte endliche Werte in einer Um 
gebung von x 0 habe. 
§ 2. Anwendungen. 
143. Beispiele. Der letzte Satz gestattet in vielen Fällen, 
die Extremwerte einer Funktion ohne weiteres zu bestimmen. 
Hierzu einige Beispiele: 
1. Beispiel: Die Funktion f(x) = x(a — x) hat die Ab 
leitungen f\x) = a — 2x und f" ix) — — 2, so daß der Satz 1 
von Nr. 142 zeigt, daß sie für x = \a ein Maximum hat. Vgl. 
das 1. Beispiel in Nr. 141. 
2. Beispiel: Bei der Funktion f{x) = (a — x) s ist f'(x) 
- - 3(a - xf, TO) = 60 - x), r(x) = - 6. Da f{*) =0 
für x = a ist und dort auch f"(x) = 0, aber f"'(x) =f= 6 ist, 
hat diese Funktion kein Maximum oder Minimum. Vgl. das 
2. Beispiel in Nr. 141. 
3. Beispiel: Die Funktion y = x* ist nach Nr. 5 nur für 
positive Werte von x definiert und positiv. Hier haben wir: 
y = (ln x + 1) x*, y" = [-^ + (lnx + l) s ] öS*, 
142, 1431