§ 2. Anwendungen 243 
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[143,144,145 
Es ist ij = 0 für a; = 1 : e. Hier wird y" > 0, so daß ein 
Minimum eintritt. 
144. Ein andersartiges Beispiel. Es gibt Funk 
tionen, bei denen die Anwendung des Satzes 1 von Nr. 142 un 
bequem ist, weil die höheren Ableitungen umständlich werden. 
In solchen Fällen ist es oft bequemer, geradezu festzustellen, 
ob die Ableitung beim Durchgänge des x durch einen Wert x 0 , 
für den sie gleich Null ist, das Zeichen wechselt. 
Liegt z. B. die Funktion y = x m (a — x) n vor, wo a, m, n 
positive Konstanten seien und insbesondere m und n ganze 
Zahlen größer als Eins bedeuten mögen, so ist 
y' = x m ~ x (a — *)” _1 [iwa — (m + n)x\, 
während y" recht umständlich wird. Wir schließen daher so: 
Für jedes x sind y und y stetig. Insbesondere wird y = 0 
für x = 0, für x = a und für x = ma : (m + n), das kleiner 
als ci, aber positiv ist. Geht x wachsend durch den Wert Null, 
so wechselt y nur dann das Zeichen, und zwar — in -f-, wenn 
m gerade ist, so daß y nach Satz 9 von Nr. 30 vorher abnimmt 
und nachher wächst, also für x = 0 ein Minimum eintritt. 
Geht x wachsend durch den Wert a, so gilt dasselbe, wenn n 
gerade ist. Geht x wachsend durch den Wert ma : (m + n), so 
hat y kurz vorher positive und kurz nachher negative Werte, 
so daß y vorher wächst und nachher abnimmt, also ein Maximum 
für x = ma : (m -f n) eintritt. 
145. Ein Permatsches Problem. Zwei Räume seien 
wie in Fig. 23 durch eine Ebene E getrennt. Ein Punkt lege 
in der Zeiteinheit im ersten Raume 
u und im zweiten Raume ß Längen 
einheiten zurück, wobei a und ß 
Konstanten seien, so daß in jedem 
Raume die von dem Punkte zu 
rückgelegten Wege zu der dazu ge 
brauchten Zeit proportional sind. 
Das Fermatsche Problem besteht 
nun darin, daß der Weg bestimmt 
werden soll, auf dem der Punkt 
in kürzester Zeit von einer ge