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§ 2. Anwendungen 
245 
Wir können auf geometrischem Wege sehen, daß eine und 
nur eine Lösung dieser Gleichung in Betracht kommt, und zu 
gleich eine charakteristische Eigenschaft des gesuchten Punktes 
H finden. Es sei nämlich KI das Lot zur Ebene E in H, 
wobei HK im ersten und HI im zweiten Raume liege. Dann 
ist sin KHA = sin CAH und sin IHB = sin DJBH, also: 
x 
|/.T 2 ~P ß 2 
sin KHA, --JL. x — = sin IHB. 
j/(c — x) 2 -j- b 2 
Dabei ist KAH positiv für positives x, wenn also H auf 
derselben Seite von G liegt wie B, und <)C IHB ist positiv 
für #<c, wenn also H auf derselben Seite von D liegt wie G. 
Die Forderung y' = 0 lautet nun nach (1): 
sin KHA a 
^ ' sin IHB = ~ß‘ 
Nennen wir KHA den Einfallswinkel und IHB den 
Brechungswinkel, so folgt, daß das Verhältnis der Sinus des 
Einfalls- und des Brechungswinkels gleich dem Verhältnisse a : ß 
der Geschwindigkeiten sein muß, mit denen sich der Funkt im 
ersten hzw. zweiten Baume bewegt. Da a und ß positiv sind, 
muß II zwischen C und I) liegen. Wenn x von 0 bis c wächst, 
d. h. wenn H von G nach B geht, nimmt sin KHA von 
Null bis zu einem gewissen Werte < 1 zu, während sin IHB 
von einem gewissen positiven Werte < 1 bis Null abnimmt. 
Das Verhältnis der beiden Sinus wächst dabei folglich von 
Null bis -f- <x>, so daß es einen und nur einen Punkt II gibt, 
für den die Bedingung (2) erfüllt ist, und zwar liegt er 
zwischen G und B. Wird statt dieses Punktes II ein Punkt 
näher bei G gewählt, so wird der Minuend in (1) kleiner und 
der Subtrahend größer; wird dagegen ein Punkt näher bei B 
gewählt, so ist es umgekehrt. Daher hat y' vor dem Durch 
gänge durch den Punkt H negative und nachher positive Werte, 
so daß y vorher ab- und nachher zunimmt, also für H wirk 
lich das Minimum eintritt. 
146. Größte und kleinste Entfernungen eines 
Punktes von den Punkten einer Kurve in der Ebene. 
Gegeben sei in der Ebene eine Kurve und ein Punkt P. Ge 
sucht werden die größten und kleinsten Entfernungen des