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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
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Punktes P von den Punkten M der Kurve. — Es mögen a 
und b die Koordinaten von P sein, während der laufende 
Punkt M der Kurve die Koordinaten x und y habe. Dabei 
bedeutet y eine gegebene Funktion von x, da die Kurve vor 
liegen soll. Nun wird gefragt, wann die Größe PM 2 , näm 
lich 
v = 0 — a)* + (y — by, 
(1) 
ein Maximum oder Minimum hat. Dabei muß beachtet werden, 
daß v eine zusammengesetzte Funktion von x allein ist, da y 
eine Funktion von x bedeutet. Deshalb ergeben sich die Dif 
ferentialquotienten : 
- 2 tO -») + (* — 
g-2[l +,/'* +(y-%"]. 
(2) 
Wir fordern also zunächst nach Satz 1 von Nr. 142: 
x — a + (y - b)y = 0. 
Da (y — b):(x — a) der Tangens des Winkels ist, den die Ge 
rade PM mit der x-Achse bildet, und y' der Tangens des 
Winkels, den die Tangente des Kurvenpunktes M mit der 
£-Achse bildet, besagt die Forderung: Der gesuchte Kurven 
punkt M muß so liegen, daß PM die Normale des Punktes M 
ist. Wird nun M so gewählt, daß PJ\[ die Normale von M 
ist, so fragt es sich aber noch, ob wirklich ein Maximum oder 
Minimum des Abstandes vorliegt. 
Ist zunächst an dieser Stelle M der Kurve y" = 0, so 
wird d l v : dx 2 nach (2) positiv, so daß PM ein Minimum des 
Abstandes des Punktes P von den Punkten der Kurve ist. 
Ist jedoch y" 4= 0, so können wir immer eine Größe Ij so be 
stimmen, daß 
(3) 
1 + y 2 + ü/ — i))*/"= 0 
ist. Zu diesem Werte l), aufgefaßt als eine Ordinate, gehört 
ein gewisser Punkt C oder (g, ty) der Normale PM. Wenn 
nun y" = — (1 -j- y 2 ): (y — tj) in (2) eingesetzt wird, kommt: