§ 2. Anwendungen 
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Dieser Wert ist positiv oder negativ, je nachdem b — und 
y — h dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben, d. h. PM 
ist ein Maximum des Abstandes, wenn C zwischen M und P 
liegt, ein Minimum dagegen, wenn G nicht zwischen M und 
P liegt. 
Liegt P in C selbst, so zeigen (3) und (2), daß <Pv:dx 2 
verschwindet. Aus (2) berechnen wir dann weiterhin: 
(4) ^-2[3 tfy"+ {y-V)f'l 
Sobald also 
(5) x — a + (y — b)y = 0, 1 + y 2 + (y - b)y" = 0 
ist, tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein, wenn 
nicht auch der Wert (4) gleich Null ist. Ist jedoch außerdem 
(6) 3y'y" + («I- V)y" - 0, 
so hängt die Entscheidung davon ab, welches Vorzeichen 
d l v : do?} hat, worauf wir nicht näher eingehend) 
Beispielsweise werde angenommen, die gegebene Kurve 
sei der Kreis um den Anfangspunkt 0: 
z 2 + if = B\ 
Dann muß M so auf dem Kreise gewählt werden, daß PM 
Normale wird, d. h. als einer der beiden Schnittpunkte M x 
und M 2 der Geraden OP mit dem Kreise. Da jetzt kommt: 
x + yy = 0, 1 + y 2 + yy" = 0, 
lehrt (3), daß t) = 0, d. h. daß der Punkt C der Mittelpunkt 
0 des Kreises ist. Nach dem Vorhergehenden ist PM X das 
Minimum und PM 2 das Maximum des Abstandes des Punk 
tes P von den Punkten des Kreises, sobald M t auf derselben 
Seite von 0 wie P liegt. Dies ist ja auch geometrisch einzu» 
sehen. Liegt dagegen P in 0 selbst, so sind alle Abstände 
gleich groß. 
1) Es wird sich später zeigen, daß C der zu dem Kurvenpunkte M 
gehörige sogenannte KrümmungsmittelpunM ist (in Nr. 198) und daß die 
drei Bedingungen (6) und (6) erfüllt sind, wenn der Kurvenpunkt M ein 
Scheitel der Kurve ist und P in der zugehörigen Spitze der Evolute der 
Kurve liegt, vgl. Nr. 218.