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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
147. Größte und kleinste Entfernungen eines 
Punktes von den Punkten einer Raumkurve. Ist die 
gegebene Kurve nicht eben oder liegt der gegebene Punkt P 
nicht in ihrer Ebene, so müssen wir zur Lösung des Problems 
ein Koordinatensystem im Raume benutzen. Der gegebene 
Punkt P habe die Koordinaten a, b, c, und es sei M ein 
laufender Punkt der gegebenen Kurve mit den Koordinaten x, 
y, z, so daß also y und z als gegebene Funktionen von x auf 
zufassen sind. 1 ) Es bandelt sich dann um die Maxima und 
Minima der Größe 
(1) v = (x - df + (y - bf + 0 - cf, 
die, weil y und z gegebene Funktionen von x bedeuten, eine 
zusammengesetzte Funktion von x ist, für die 
% = 2[(ä - a) + (y - b)y +(z- c)z], 
(2) 2[1 + y* + + (V ~ %" + 0- 
wird. Nach Satz 1 von Nr. 142 muß zunächst für den ge 
suchten Punkt 71/ der Kurve dv : dx = 0 sein, also: 
(3) (x — a) -f (y - b)y +(z — c)z = 0. 
Hierin liegt, da y und z gegebene Funktionen von x sind, 
eine Gleichung zur Bestimmung der Unbekannten x vor. 2 i Wir 
denken uns x aus ihr berechnet und haben dann die .r-Koor- 
dinate eines gewissen Kurvenpunktes 71/ gefunden. Es fragt 
sich, ob nun PM wirklich ein Maximum oder Minimum der 
Entfernungen des Punktes P von den Punkten der Kurve ist. 
Wenn zunächst für den berechneten Wert x auch der 
Ausdruck (y — b)y" -f- (z — c)z" verschwindet 3 ), lehrt (2), daß 
dann cPv : dx 2 positiv ist, also nach Satz 1 von Nr 142 ein 
Minimum vorliegt. Verschwindet dagegen dieser Ausdruck 
1) Wir sprechen im 9. Kapitel ausführlich von Raumkurven. 
2) Wir werden in Nr. 252 sehen: die Bedingung (3) besagt, daß Y 
in der sogenannten Normalebene des Kurvenpunktes M liegen muß. 
3) Wir werden später sehen, daß dieser Ausdruck nur dann gleich 
Null ist und zugleich (3) besteht, wenn der Punkt P auf der sogenannten 
Binormale (vgl. Nr. 264) des Kurvenpunktes M liegt. 
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