§ 2. Anwendungen 
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nicht, so lassen sich drei Größen £, t), 5 bestimmen, die den 
Bedingungen genügen: 
1 + y' 2 + + (y — $) y" + (* — $)*" = 0, 
x — S = y — 9 = ¿ — 5 _ 
# — a y — 6 z — c 
Nach der letzten Proportion liegt derjenige Punkt C, dessen 
Koordinaten j, t), § sind, auf der Geraden durch die beiden 
Punkte (a } b, c) und (x, y, z), d. h. auf der Geraden PM. 
Außerdem ist hiernach 
x — a 
{y — fyy" +(? — c) z" = [(y — t))y" +(z— %)z"] 
so daß nach der ersten Gleichung (4): 
(y — V) y" + (0 - c) z" = — (1 -f y 2 + z 2 ) 
ist und d 2 v : dx 2 nach (2) die Form bekommt: 
Also wird d 2 v:dx 2 positiv oder negativ, je nachdem a — £ und 
# — £ dasselbe oder verschiedenes Vorzeichen haben, was ein- 
tritt, je nachdem die Punkte P und M auf derselben oder auf 
verschiedenen Seiten des Punktes G liegen. Im einen Falle 
ist PM ein Minimum, im anderen ein Maximum. 
Liegt dagegen P in C selbst, so wird d 2 v: dx 2 = 0, so 
daß alsdann die dritte Ableitung von v berechnet werden muß. 
Sie ist nach (2): 
(5) - 2[3yV'+ 3*'/'+ (!/-%'"+ (»-«)*"']. 
Wenn nun zwar P in C liegt, d. h. wenn zwar 
(x — a) + (y — b) y +(z - c)z = 0 
1 + y' 2 + / 2 + (# — &)«/"+ ($ — c)/'= 0 
(6) 
ist 1 ), aber der Wert (5) nicht verschwindet, tritt also weder 
1) Die beiden Gleichungen (6) sind, wie wir in Nr. 263 sehen wer 
den, die Gleichungen der Krümmungsachse des Kurvenpunktes (oc, y, z), 
geschrieben in den laufenden Koordinaten a, ö, c, so daß also jetzt P 
der Schnittpunkt einer Normale von M mit der Krümmungsachse ist. 
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i d pm