250 Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
ein Maximum noch ein Minimum ein. Ist aber außer den 
beiden Bedingungen (6) noch die Bedingung 
(7) 3 y y" + 31V' + (y - b) y" + (z-c) z"' - 0 
erfüllt 1 ), so bängt die Entscheidung vom Vorzeichen von 
d^v.dx* ab, worauf wir nicht näher eingehen wollen. 
148. Nebenbedingungen in Gestalt von Unglei 
chungen. Bisweilen handelt es sich um die Bestimmung der 
Maxima und Minima, die eine Funktion f(x) der Veränder 
lichen x hat, wenn x nur auf ein Intervall a<x^b be 
schränkt ist. Alsdann hat man für Stellen x im Innern des 
Intervalles dasselbe Verfahren wie bisher anzuwenden. Jedoch 
können dann an den Grenzen des Intervalles sogenannte Grenz- 
maxima oder Grenzminima auftreten. Denn z. B. die Umgebung 
der Stelle x = a umfaßt jetzt, da x a sein soll, nur Werte, 
die größer als a sind, so daß wir die Definition in Nr. 140 
anders fassen müssen: 
Wir sagen, daß eine Funktion fix) an der unteren Gretize 
x = a des Intervalles a^x^b ein Grenzmaximum oder Grenz 
minimum hat, wenn es eine positive Zahl ö=(=0 derart gibt, 
daß für jedes h zwischen 0 und 6 der Wert von f{a h) 
kleiner bzw. größer als f(a) ist. Ferner sagen wir, daß f(x) 
an der oberen Grenze x = b des Intervalles ein Grenzmaximum 
oder Grenzminimum hat, wenn es eine positive Zahl <5 =4= 0 
derart gibt, daß für jedes li zwischen 0 und 6 der Wert von 
f(b — h) kleiner bzw. größer als f(b) ist. 
Setzen wir insbesondere voraus, daß f(x) in dem Inter 
valle a<^x<Lb überall eine bestimmte endliche Ableitung f (x) 
habe, so folgt aus Satz 9 von Nr. 30, daß an der Stelle x = a 
ein Grenzmaximum oder Grenzminimum vorliegt, je nachdem 
f'(a) kleiner oder größer als Null ist, und daß an der Stelle 
X = b ein Grenzmaximum oder Grenzminimum vorliegt, je 
nachdem f'(b) größer oder kleiner als Null ist. Ist dagegen 
f (a) = 0 oder f'(b) = 0, so versagen diese Kennzeichen; man 
muß dann die Definitionen anwenden. 
1) Die drei Gleichungen (6) und (7) zusammen besagen, wie das 
Spätere zeigen wird, daß der Punkt P oder (o, 6, c) der Mittelpunkt der 
sogenannten Schmiegungskugrl des Kurvenpunktes M ist (vgl. Nr. 276). 
147, 148]