§ 2. Anwendungen 
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1. Beispiel: Die Funktion y = x x , die nur für positives x I / 
definiert ist (vgl. Nr. 5 und 143), hat für x = 0 ein Grenz 
maximum. Es ist nämlich lim xf für lim x = 0 nach Nr. 135 
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gleich Eins, während lny oder x\nx für positive Werte von x, 
die kleiner als Eins sind, negativ wird, so daß y für solche 
Werte von x kleiner als für x = 0 ist. 
Handelt es sich um eine Aufgabe, bei der als unabhängige 
Veränderliche verschiedene veränderliche Größen gewählt werden 
können, z. B. um geometrisch gestellte Aufgaben, so kann es 
Vorkommen, daß man eine unabhängige Veränderliche wählt, 
die nur innerhalb gewisser Grenzen variiert, so daß man, 
wenn diese Grenzen nicht beachtet werden, unter Umständen 
Maxima oder Minima übersieht. 
2. Beispiel: Soll die kleinste oder größte Entfernung eines 
Punktes x = a der positiven ¿’-Achse von den Punkten des Kreises 
¿ 2 + y 2 = R 2 
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bestimmt werden — wie am Schlüsse von Nr. 146 —, so wird 
das Maximum oder Minimum der Funktion 
v = (x — ay -f y 2 
gesucht, wobei y 2 = B 2 — x 2 ist, so daß 
v = B 2 -j- a 2 — 2ax 
wird. Hier ist dv : dx = — 2 a ■■4= 0, so daß man also nach 
Satz 1 von Nr. 142 gar kein Maximum oder Minimum erhält. 
Aber die Gleichung y = Y B 2 — x 2 des Kreises lehrt, daß x nur 
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in der Stelle r= ; 
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in dem Intervalle von — B bis -f B variiert, so daß die Grenz- 
maxima oder Grenzminima in Betracht kommen. Da dv : dx 
negativ ist, liegt an der unteren Intervallgrenze x = — B ein 
Grenzmaximum und an der oberen Intervallgrenze #=-f-B ein 
Grenzminimum vor. 
149. Extremwerte einer unentwickelten Funktion 
von einer Veränderlichen. Ist y als Funktion von x defi- 
niert durch eine Gleichung 
(1) fix, y) - 0, 
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und nehmen wir an, daß y eine stetige Ableitung habe, so 
ergibt sich durch Differentiation nach Nr. 54: 
(2) f, + f y ’/ = 0. 
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[148, 149