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Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
wenn A, diejenige Determinante bedeutet, die aus A hervor 
geht, sobald darin 
durch 
df\ m < df„ 
dy k ’ cy k ’ dy k 
ersetzt werden. Wir fordern daher 
dU 
dx 7 
du 
dx 
dfn 
dx 
(3) A, = 0, 
d. h. solche Werte von x, für die y k ein Maximum oder Mini 
mum erreichen kann, müssen den n + 1 Gleichungen (1) und 
(3) in den w-f 1 Veränderlichen x, y l , y 2 , . . . y n genügen. 
Wir nehmen an, es gebe ein System von Lösungen x, y lt y 2 , ...y H 
dieser n -f 1 Gleichungen, und es sei für dies System A =f= 0. 
Fälle, in denen auch A = 0 wird, sind nicht nach dem allge 
meinen Verfahren zu behandeln, erfordern vielmehr eine be 
sondere Untersuchung. 
Um zu erkennen, ob der gefundene Wert von y k für den 
gefundenen Wert von x wirklich ein Maximum oder Minimum 
ist, muß man wegen des Satzes 1, Nr. 142, die zweite Ablei 
tung (i 2 y k :dx 8 berechnen; wie dies geschieht, wurde in Nr. 83 
gezeigt. Ist nun diese Ableitung in einer Umgebung des be 
rechneten Wertsystems x, y lt y 2 , . . . y u stetig, so tritt ein Maxi 
mum oder ein Minimum ein, je nachdem sie für dieses Wert 
system negativ oder positiv wird. Ist sie aber für dieses Wert 
system gleich Null, so liegt die Entscheidung nach Satz 1, 
Nr. 142, bei den höheren Ditferentialquotienten von y k , die wie 
in Nr. 83 zu bestimmen sind. 
152. Nebenbedingungen. Die vorstehende Betrachtung 
umfaßt auch den Fall, in dem die Maxima und Minima einer 
entwickelten Funktion 
F(x X} x i} . . . x n ) 
von n Veränderlichen x 1} x if ... x n gesucht werden, wenn da 
bei zwischen den Veränderlichen insgesamt gerade n — 1 von 
einander unabhängige Bedingungen vorgeschrieben sind: 
X % , . . . x n ) = 0 (¿=1, 2,... w- 1), 
so daß also etwa x i} x i} ... x n als Funktionen von x x aufzu 
fassen sind und demnach F eine zusammengesetzte Funktion 
von nur einer unabhängigen Veränderlichen x x ist. 
51, 152]