§ 3. Funktionen von mehreren Veränderlichen 
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In der Tat, wenn wir F mit x n + 1 bezeichnen, liegen in: 
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x n+i- F ( x t> x s> • • • a„) = 0, 
<Pi(v!, X a> ... x n ) = 0 (i = 1, 2,...» — 1) 
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insgesamt n voneinander unabhängige Gleichungen in n + 1 
Veränderlichen x x , x%, . . . x n + x vor, wobei x a , x 3 ... # M+1 als 
Funktionen von x x aufzufassen sind. Es handelt sich um die 
Bestimmung der Maxima und Minima von x n + l , aufgefaßt als 
Funktion von x v Diese Aufgabe ordnet sich der in voriger 
Nummer betrachteten unter, denn die dort mit x, y x , ?/ 2 , . . . y n 
bezeichneten Größen sind hier x x , x 2 , x 3 , . . . x n + x . 
§ 3. Funktionen von mehreren Veränderlichen. 
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mum oder Minimal 
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153. Notwendige Bedingung für Extremwerte. 
Definition: Eine Funktion f(x, y, z, . . .) von mehreren Ver 
änderlichen x, y, z, . . . hat an einer Stelle x = x 0 , y = y 0 , 
z = z 0 , ... ihres Bereiches ein Maximum oder ein Minimum, 
ivenn es eine von Null verschiedene positive Zahl a derart gilt, 
daß die Funktion erstens für alle Werte von x, y, z, . .. in 
den Intervallen 
eie für dieses % 
wer für dieses Wat- 
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x 0 - a < x < z 0 + a, y Q — <? < y < y 0 + <?, ... 
definiert ist und zweitens überall in diesen Intervallen kleiner 
bziv. größer als für x = x Q , y = y 0 , z = z 0 , ... ist. 
Hieraus lassen sich leicht notwendige, wenn auch nicht 
teilende BetradÄ 
i and Minima * 
hinreichende Bedingungen für die Extremwerte ableiten. Wenn 
wir nämlich annehmen, daß die vorstehenden Bedingungen er 
füllt sind, und wenn wir in f(x, y, z, . . .) für y, z, . . . die be 
stimmten Werte y 0 , z Q , . . . setzen, während wir x veränderlich 
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lassen, hat die entstehende Funktion von x allein, nämlich 
f(x, y 0 , z 0 , . . .), die Eigenschaft, daß ihr Wert für alle x im 
Intervalle x Q — 6 < x < x 0 -f- <3 im Falle eines Maximums kleiner 
und im Falle eines Minimums größer als für x = x 0 ist. Nach 
(i-Ur-*' 1, 
der Definition in Nr. 140 hat folglich diese Funktion von x 
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Q t x 
für x — x 0 ein Maximum bzw. Minimum. Wenn nun auch 
ihre Ableitung in einer Umgebung der Stelle x 0 stetig ist, 
muß, wie in Nr. 140 gezeigt wurde, die Ableitung gleich Null 
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