256 
Kap. VI. Theorie der Maxima und Minima 
153, 154J 
für x = x Q sein. Dieselbe Schlußfolgerung können wir in Hin 
sicht auf y, z usw. machen. Also haben wir gefunden: 
Satz 2: Eine Funktion f(x, y, z, . ..) von mehreren Ver 
änderlichen x, y, z, . .. kann an einer Stelle x = x Q , y = y 0) 
z = z 0 , . . ., in deren Umgehung sie stetig ist und stetige partielle 
Ableitungen erster Ordnung nach x, y, z, . . . hat, nur dann ein 
Maximum oder Minimum haben, nenn die Gleichungen 
df 
dx 
= 0, 
für x = x 0 , y — y 0 , z = z 0 , ... bestehen, oder, ivas dasselbe be 
sagt, wenn das vollständige Differential 
df = f x dx + f y dy + f t dz H 
für x = x Q , y = y 0 , z — Zq, ... gleich Null ist. 
Dies ist jedoch eine noch keineswegs hinreichende Be 
dingung für das wirkliche Auftreten eines Maximums oder 
Minimums. 
154. Funktionen von zwei Veränderlichen. Die 
Aufgabe, entsprechend dem Satze 1 von Nr. 142 nicht nur not 
wendige, sondern zugleich hinreichende Merkmale für die Ex 
tremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen abzu 
leiten, bietet ganz bedeutende Schwierigkeiten. Sie liegen nicht 
nur darin, daß naturgemäß die größere Zahl der Veränderlichen 
zu verwickelteren Formeln führt, sondern namentlich auch 
darin, daß für die Taylorsche Entwicklung bei Funktionen von 
mehreren Veränderlichen kein solcher allgemeiner Satz über 
die Größe des Restgliedes gilt wie der Satz 22, Nr. 115, bei 
Funktionen von einer Veränderlichen, der ja die Grundlage für 
die Schlüsse in Nr. 142 war. Wir werden deshalb hier zu 
nächst Funktionen von zwei Veränderlichen in bezug auf ihre 
Extremwerte genauer untersuchen. 
Es sei fix, y) eine Funktion von x und y, die nebst ihren 
partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einer 
Umgebung der Stelle x — x 0 , y = y 0 stetig ist. Alsdann ist 
nach Satz 28, Nr. 137: 
f( x 0 + h i/o + k) — f(x 0 , y 0 ) = (J'Ji -\- f y k) XoVa + 74, 
wo 
(1) 77o = — (f xx h~ -f 2f xv hk +/’yy£ s )x o + eA > y 0 + e/t