§ 3. Funktionen von mehreren Veränderlichen 
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ist. Die Indizes x 0 , y 0 und # 0 + Oh, y 0 + Oh deuten dabei an, 
daß x, y durch diese Werte zu ersetzen sind, und 0 ist eine 
zwischen 0 und 1 gelegene Größe. Die Formeln gelten für alle 
Wertepaare x 0 -j- h, y 0 -f h in einer Umgebung von x 0 , y 0 , also 
für alle Wertepaare li, h in einer Umgebung von h = 0, h = 0. 
Soll nun die Funktion f(x, y) an der Stelle x = x 0 , y = y 0 
einen Extremwert haben, so ist nach Satz 2 der vorigen 
Nummer zunächst erforderlich, daß f x und f an dieser Stelle 
verschwinden, so daß die erste Gleichung liefert: 
/K "I" \ Vo f(pQf i/o) • 
Nach der Definition der Extremwerte muß daher weiterhin ge 
fordert werden, daß eine Umgebung von h = 0, h — 0 vorhan 
den sei, worin jR 2 überall einerlei Vorzeichen hat, während 
gewiß kein Extremwert eintritt, falls Ii 2 dort noch das Zeichen 
wechseln kann. Nach (1) ist R 2 eine ganze quadratische Funk 
tion von h und h, und ihre Koeffizienten werden mit Hilfe 
der Ableitungen zweiter Ordnung von f(x, y) an der Stelle 
x = x Q + Oh, y = 2/ 0 + Oh gebildet. Man kann aber zeigen: 
Durch hinreichende Einengung der Umgebung der Stelle Ji = 0, 
h = 0 erreicht man, daß sich in bezug auf sein Vorzeichen 
darin genau so verhält wie derjenige Ausdruck B 2 °, der aus 
(1) hervorgeht, wenn man x 0 -\- Oh und y 0 -\- Oh durch x 0 und 
y 0 ersetzt, also wie der Ausdruck: 
(2) 
Um dies zu zeigen, verstehen wir unter r eine beliebig 
klein gewählte positive Größe. .Weil f xx , f xy und f yy stetige 
Funktionen von x und y sind, erreicht man jetzt dadurch, daß 
man [/¿| und |Ä| kleiner als eine gewisse positive und von Null 
verschiedene Größe 6 annimmt, daß die absoluten Beträge von 
d. h. der Differenzen zwischen den in den Klammern von (1) 
und (2) vorkommenden Koeffizienten von /F, 2hh und ft 2 , sämt 
lich kleiner als x werden. Da nun 
B 2 - B 2 ° = * (ah 2 + 2ßhh -J- yh 2 ) 
Serr et-Schef f era, Di£f.- n. Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 17 
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