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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Kurven zu nennen pflegt, ist die Differenzierbarkeit zu verlangen, 
die nach Satz 1, Nr. 27, die Stetigkeit nach sich zieht. 
168. Analytische Darstellung einer ebenen Kurve. 
Ist f(x) eine innerhalb eines Intervalles a < x < & differenzier 
bare Funktion, so stellt die Gleichung 
(1) V = f(?) 
ebenda eine Kurve dar, besser gesagt, einen Kurvenziveig, 
denn es kann sehr wohl sein, daß verschiedene Teile einer 
geometrisch definierten Kurve durch verschiedene Funktionen 
analytisch ausgedrückt werden. Jede Gerade, die zur y-Achse 
parallel ist und deren Abszisse im Intervalle von a bis b liegt, 
hat mit diesem Kurvenzweige einen und nur einen Punkt ge 
mein. Liegt allgemeiner eine nicht nach y aufgelöste Gleichung 
(2) F{x,y)- 0 
vor, die y als eine gewisse differenzierbare Funktion von x 
innerhalb eines Variabilitätsbereiches a < x <Cb definiert, so 
kann sie ebenfalls zur analytischen Darstellung eines Kurven 
zweiges benutzt werden. 
Wir können auch, wie schon in Nr. 93 angedeutet wurde, 
eine Hilfsveränderliche oder einen Parameter t heranziehen: 
Es sei nämlich cp (t) eine innerhalb eines gewissen Intervalles 
cc<t<ß differenzierbare Funktion von t, die, sobald t von 
a bis ß wächst, alle Werte von a bis b gerade einmal an 
nimmt. Alsdann können wir in (1) für x diese Funktion cp(t) 
setzen; variiert nämlich t von a bis ß, so geht x = cp(t) von 
a bis b, und infolge von (1) wird y = f(cp(t)), d. h. eine 
Funktion tfit), die in dem Bereiche a < t < ß differenzierbar 
ist, indem = f (<p) cp' ihre Ableitung gibt. Wir kommen so 
zur Darstellung einer Kurve in der Form 
(3) x =cp(t), y = 
wo cp und xh differenzierbare Funktionen von t innerhalb eines 
Variabilitätsbereiches u<t<Cß bedeuten sollen. 
Sind umgekehrt cp und th gewisse zwei in einem Intervalle 
«<¿</3 differenzierbare Funktionen von t und nimmt cp{t), 
wenn t von a bis ß wächst, alle Werte von a bis b gerade 
einmal an, so ist t die zu x = cp(t) inverse Funktion von x 
167, 168]