§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen
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(ygl. Nr. 10), etwa t = <&(#), die alle Werte von a bis ß ge
rade einmal annimmt, wenn x alle Werte von a bis b durch
läuft. Sie ist stetig und differenzierbar, wenn wir t auf ein
Intervall beschränken, in dem y (t) nirgends verschwindet, vgl.
Satz 18 von Nr. 37, so daß, wenn wir t = Q(x) in die zweite
Gleichung (3) einsetzen, eine Darstellung der Kurve in der
Form y = ipQT>{ccj) hervorgeht, die sich der ersten Form (1)
unterordnet. Lassen wir auch Stellen zu, an denen cp' (ß) = 0
wird, so sagen wir immer noch, daß die Gleichungen (3) eine
Kurve oder einen Kurvenzweig definieren. Alsdann kann je
doch eine Parallele zur Abszissenachse die Kurve sehr wohl
in zwei oder noch mehr Punkten treffen.
169. Gleichung der Tangente und Normale. Ist
eine Kurve in der Form (1) der vorigen Nummer vorgelegt,
so bildet die Tangente desjenigen Kurvenpunktes M, dessen
Abszisse x ist, mit der Achse einen Winkel x, von dem wir
zwar schon wissen, daß sein Tangens den Wert f' (x) hat, über
dessen scharfe Definition aber noch etwas nachgetragen werden
muß: Wir denken uns die Kurve im Sinne zunehmender Ab
szissen x durchlaufen. Der Tangente geben wir dementsprechend
diejenige positive Richtung, nach der ein Punkt auf der Tan
gente hinwandert, wenn seine Abszisse wächst, siehe Fig. 25.
Alsdann soll x der Winkel der positiven x-Achse und posi
tiven Tangente sein. In dem Drehsinne von der positiven
x-Achse zur positiven y-Achse hin gemessen ist er positiv,
im entgegengesetzten Sinne negativ, so daß x bis auf ganze
Vielfache von 2 n völlig bestimmt ist. Man kann, wenn man
will, dem Tangentemvinkel x überhaupt
die Beschränkung — 2 ^ ^ ^ ^ + 2 ^
auferlegen, braucht dies aber nicht zu
tun. Man sieht, daß cos x stets posi
tiv ist, weil der zwischen der posi-
tiven Achse und der positiven Tan
gente gelegene Winkel stets spitz ist.
Da tg x = f(x) = y ist, gelten die Formeln:
(1) sin-r = —
V
u
p
Fig. 25.
N
COS X
1/1 + V* 1/1 + y' 2 ‘
in denen die Quadratwurzel positiv ist.
tg* = Vi
19’
[168,169
