§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen 
293 
ziiglichen Formeln nach dieser neuen Bestimmung schreiben. 
Da dx : dt = cp’, dy : dt = xp' ist, wenn die Akzentstriche die 
Differentiation nach t andeuten, kommt dy : dx — xp’: cp’. An 
Stelle von (1) und (2) haben wir jetzt die Formeln: 
(5) 
(6) 
sin T 
sin V 
W 2 -f t' 2 7 
V 
Vt ,2 + ^' 2 ’ 
cos T 
COS V 
V<p' 2 + '«P ’ 
— i>' 
lV' + ’f’'* ’ 
1 
tgv = 
rp' ? 
wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Die Gleichungen 
der Tangente und Normale sind: 
(7) ^(i — x ) = V) bzw - y (£ — x ) + — V) = 0. 
170. Länge der Tangente, Normale, Sufotangente 
und Subnormale. Sind T und N die Schnittpunkte der 
Tangente und Normale des Kurvenpunktes M mit der rr-Achse 
und ist P der Fußpunkt der Ordinate von M (siehe Fig. 25 
auf S. 291), so versteht man in engerem Sinne — vgl. auch 
Nr. 40 — unter der Tangente, Normale, Subtangente und 
Subnormale die Längen der Strecken von M nach T und nach 
N und der Strecken von P nach T und nach N. Dabei sollen 
die Strecken positiv oder negativ gerechnet werden, je nach 
dem ihre Endpunkte auf ihre Anfangspunkte M bzw. P in 
dem positiven Sinne der Tangente bzw. Normale folgen. Hier 
nach kommt: 
MT = , MN=- y -, PT =- y ctgr, PN = y tgr. 
sin r cos t ' 
Wird die Kurve im Sinne wachsender x durchlaufen, so 
ergibt sich also nach (1) in voriger Nummer: 
MT=- ,J -.VT+Y*, MN ypl+V’, FT ~-i, PN-yy, 
y j 
wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Wird die Kurve 
x = (p(t), y = xp(t) 
im Sinne wachsender t durchlaufen, so kommt nach (5) in 
voriger Nummer: 
MN PT=-^,PN= 
ip' qp xp cp 
wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. 
[169, 170